Решите уравнение с помощью разложения на множители:
\(\displaystyle (x+5)(x^2-6x+9)=9(x-3){\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
Требуется решить уравнение
\(\displaystyle (x+5)(x^2-6x+9)=9(x-3){\small.}\)
Заметим, что выражение \(\displaystyle x^2-6x+9\) в левой части уравнения является полным квадратом:
\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)^2{\small,}\)
а правая часть уравнения также содержит множитель \(\displaystyle (x-3){\small.}\)
Перепишем уравнение в виде
\(\displaystyle (x+5)(x-3)^2=9(x-3){\small,}\)
перенесем все члены в левую часть
\(\displaystyle (x+5)(x-3)^2-9(x-3)=0\)
и вынесем общий множитель:
\(\displaystyle (x-3)((x+5)(x-3)-9)=0{\small.}\)
\(\displaystyle (x-3)(x^2+2x-24)=0{\small.}\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Поэтому
\(\displaystyle x-3=0\) или \(\displaystyle x^2+2x-24=0{\small .}\)
Найдём корни полученных уравнений.
\(\displaystyle x=3{\small .} \)
\(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle x=-6{\small .} \)
Значит, исходное уравнение имеет три различных корня:
\(\displaystyle x_1=3{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=4{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=-6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=3{\small,}\, x_2=4{\small,}\, x_3=-6{\small.}\)