Решите уравнение:
\(\displaystyle x^3+3x^2-6x-8=0{\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
Заметим, что в уравнении присутствует \(\displaystyle x^3\) и \(\displaystyle 8=2^3{\small.}\)
Перегруппируем члены уравнения:
\(\displaystyle x^3-8+3x^2-6x=0\)
или
\(\displaystyle x^3-2^3+3x^2-6x=0{\small.}\)
Воспользуемся формулой разности кубов
\(\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
и получим
\(\displaystyle (x-2)(x^2+2x+4)+3x(x-2)=0{\small.}\)
Вынесем за скобку общий множитель \(\displaystyle (x-2){\small:}\)
\(\displaystyle (x-2)(x^2+2x+4+3x)=0 {\small,}\)
\(\displaystyle (x-2)(x^2+5x+4)=0{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Поэтому
\(\displaystyle x-2=0\) или \(\displaystyle x^2+5x+4=0{\small .}\)
Найдём корни полученных уравнений.
\(\displaystyle x=2{\small .} \)
\(\displaystyle x=-1\) и \(\displaystyle x=-4{\small .} \)
Значит, исходное уравнение имеет три корня:
\(\displaystyle x_1=2{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=-4{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=2{\small,}\,x_2=-1{\small,} \, x_3=-4{\small.}\)