Skip to main content

Теория: Число решений (короткая версия)

Задание

Не решая систему, определите число её решений:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}24x+50y&=-3{\small,}\\6x-5y&=18{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

Система уравнений  .

Решение

Воспользуемся правилом:

Правило

Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a_1x+b_1y=c_1{\small , }\\a_2x+b_2y=c_2{\small }\end{aligned}\right.\)

  • имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при одной переменной не равно отношению коэффициентов при другой переменной:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} \, \cancel = \, \frac{b_1}{b_2}{\small ;}\)

  • не имеет решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной, но не равно отношению отношению свободных членов:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\, \cancel = \, \frac{c_1}{c_2}{\small ;}\)

  • имеет бесконечно много решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной и равно отношению отношению свободных членов:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}{\small .}\)

 

Согласно правилу, действовать следует поэтапно:

1. 

Определить, имеет ли система единственное решение.
Для этого необходимо найти значения \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2}\) и \(\displaystyle \frac{b_1}{b_2}\) и сравнить их . 
Если \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} \, \cancel = \,\frac{b_1}{b_2}{ \small ,}\) то система имеет единственное решение.
 

2.

 Если \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}{ \small ,}\) то система не имеет единственного решения.
В этом случае требуется определить, не имеет она решений или же имеет бесконечно много решений.
Для этого необходимо найти значение \(\displaystyle \frac{c_1}{c_2} \) и сравнить его с \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} {\small .}\)

Для данной системы

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\color{red}{24}x+\color{blue}{50}y&=\color{green}{-3}{\small,}\\\color{magenta}{6}x\color{lightblue}{-5}y&=\color{lightgreen}{18}{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

выпишем коэффициенты:

\(\displaystyle a_1=\color{red}{24}{\small,}\) \(\displaystyle b_1=\color{blue}{50}{\small,}\)  

\(\displaystyle a_2=\color{magenta}{6}{\small,}\) \(\displaystyle b_2=\color{lightblue}{-5}{\small.}\)

Найдем отношения коэффициентов

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{\color{red}{24}}{\color{magenta}{6}}=4{\small;}\)

\(\displaystyle \frac{b_1}{b_2}=\frac{\color{blue}{50}}{\color{lightblue}{-5}}=-10{\small.}\)

Видим, что \(\displaystyle 4\, \cancel = \, -10{\small,}\) то есть \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} \, \cancel = \, \frac{b_1}{b_2}{\small .}\)

Значит, исходная система уравнений имеет единственное решение.
 

Ответ: Система уравнений имеет единственное решение.