Skip to main content

Теория: Число решений (короткая версия)

Задание

Не решая систему, определите число её решений:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}45x+54y&=27{\small,}\\5x+6y&=3{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

Система уравнений  .

Решение

Воспользуемся правилом:

Правило

Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a_1x+b_1y&=c_1{\small , }\\a_2x+b_2y&=c_2{\small }\end{aligned}\right.\)

  • имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при одной переменной не равно отношению коэффициентов при другой переменной:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} \, \cancel = \, \frac{b_1}{b_2}{\small ;}\)

  • не имеет решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной, но не равно отношению отношению свободных членов:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\, \cancel = \, \frac{c_1}{c_2}{\small ;}\)

  • имеет бесконечно много решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной и равно отношению отношению свободных членов:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}{\small .}\)

 

Согласно правилу, действовать следует поэтапно:

1. 

Определить, имеет ли система единственное решение.
Для этого необходимо найти значения \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2}\) и \(\displaystyle \frac{b_1}{b_2}\) и сравнить их . 
Если \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} \, \cancel = \,\frac{b_1}{b_2}{ \small ,}\) то система имеет единственное решение.
 

2.

 Если \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}{ \small ,}\) то система не имеет единственного решения.
В этом случае требуется определить, не имеет она решений или же имеет бесконечно много решений.
Для этого необходимо найти значение \(\displaystyle \frac{c_1}{c_2} \) и сравнить его с \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} {\small .}\)

Для данной системы

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\color{red}{45}x+\color{blue}{54}y&=\color{green}{27}{\small,}\\\color{magenta}{5}x+\color{lightblue}{6}y&=\color{lightgreen}{3}{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

выпишем коэффициенты:

\(\displaystyle a_1=\color{red}{45}{\small,}\) \(\displaystyle b_1=\color{blue}{54}{\small,}\) 

\(\displaystyle a_2=\color{magenta}{5}{\small,}\) \(\displaystyle b_2=\color{lightblue}{6}{\small.}\)

Найдём отношения коэффициентов:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{\color{red}{45}}{\color{magenta}{5}}=9{\small;}\)

\(\displaystyle \frac{b_1}{b_2}=\frac{\color{blue}{54}}{\color{lightblue}{6}}=9{\small.}\)

Видим, что \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}=\color{orange}{9}{\small .}\)

Значит, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Найдём отношение свободных членов уравнения:

\(\displaystyle \frac{c_1}{c_2}=\frac{\color{green}{27}}{\color{lightgreen}{3}}=\color{orange}{9}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}{\small .}\)

Значит, исходная система уравнений имеет бесконечно много решений.
 

Ответ: Система уравнений имеет бесконечно много решений.