Теория: 02 Центральная симметрия (короткая версия)

Проверим, являются ли точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричными относительно точки \(\displaystyle O\small.\)

Если точка \(\displaystyle O\)— центр симметрии для точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\small{,}\)то эти точки должны лежать на прямой, содержащей точку\(\displaystyle O\small{,}\)на равном расстоянии от неё. \(\displaystyle \\\)
Проведем прямую \(\displaystyle a\small,\)проходящую через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\)

По рисунку видим, что точка \(\displaystyle O\) лежит на прямой \(\displaystyle a\small.\) Также заметим, что:

• расстояние от точки\(\displaystyle A\)до точки \(\displaystyle O\) составляет \(\displaystyle 2\)клетки. Так как длина стороны клетки равна \(\displaystyle 1\)см, то \(\displaystyle OA=2\)см.
• расстояние от точки\(\displaystyle B\)до точки \(\displaystyle O\) составляет \(\displaystyle 4\)клетки. Так как длина стороны клетки равна \(\displaystyle 1\)см, то \(\displaystyle OB=4\)см.

Получаем, что точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)расположены на прямой\(\displaystyle a\small{,}\)содержащей точку \(\displaystyle O\small{,}\) но при этом \(\displaystyle OA=2\)см\(\displaystyle \cancel{=}\) \(\displaystyle 4\)см\(\displaystyle =OB\small.\).

Значит, точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) несимметричны относительно точки \(\displaystyle O\small.\)

Проверим, являются ли точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричными относительно точки \(\displaystyle Q\small.\)

Если точка \(\displaystyle Q\)— центр симметрии для точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\small{,}\)то эти точки должны лежать на прямой, содержащей точку\(\displaystyle Q\small{,}\)на равном расстоянии от неё. \(\displaystyle \\\)
Проведем прямую \(\displaystyle a\small,\)проходящую через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\)

По рисунку видим, что точка \(\displaystyle Q\) лежит на прямой \(\displaystyle a\small.\) Также заметим, что:

• расстояние от точки\(\displaystyle A\)до точки \(\displaystyle Q\) составляет \(\displaystyle 3\)клетки. Так как длина стороны клетки равна \(\displaystyle 1\)см, то \(\displaystyle QA=3\)см.
• расстояние от точки\(\displaystyle B\)до точки \(\displaystyle Q\) составляет также \(\displaystyle 3\)клетки, то есть \(\displaystyle QB=3\)см.

Получаем, что точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)расположены на прямой\(\displaystyle a\small{,}\)содержащей центр симметрии – точку \(\displaystyle Q\small{,}\) при этом \(\displaystyle QA=QB=3\)см.

Значит, точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричны относительно точки \(\displaystyle Q\small.\)