Определите по рисунку, являются ли четырёхугольники \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричными относительно прямой \(\displaystyle k\small{?}\)
Являются ли четырёхугольники \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) симметричными относительно прямой \(\displaystyle k\small{?}\)
(Длина стороны клетки равна \(\displaystyle 1\)см.)
Выясним, симметричны ли четырёхугольники \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Для этого обозначим вершины четырёхугольников и проведем \(\displaystyle 4\) прямые, проходящие через точки \(\displaystyle A_{1}\) и \(\displaystyle B_{1}\small,\) \(\displaystyle A_{2}\) и \(\displaystyle B_{2}\small,\) \(\displaystyle A_{3}\) и \(\displaystyle B_{3}\small,\) \(\displaystyle A_{4}\) и \(\displaystyle B_{4}\) соответственно.
По рисунку видим, что
- расстояние от точки \(\displaystyle A_{1}\) до прямой \(\displaystyle k\) составляет \(\displaystyle 4\) клетки и равно расстоянию от точки \(\displaystyle B_{1}\) до прямой \(\displaystyle k\small,\)
- расстояние от точки \(\displaystyle A_{2}\) до прямой \(\displaystyle k\) составляет \(\displaystyle 2\) клетки и равно расстоянию от точки \(\displaystyle B_{2}\) до прямой \(\displaystyle k\small,\)
- расстояние от точки \(\displaystyle A_{3}\) до прямой \(\displaystyle k\) составляет \(\displaystyle 6\) клеток и равно расстоянию от точки \(\displaystyle B_{3}\) до прямой \(\displaystyle k\small,\)
- расстояние от точки \(\displaystyle A_{4}\) до прямой \(\displaystyle k\) составляет \(\displaystyle 6\) клеток и равно расстоянию от точки \(\displaystyle B_{4}\) до прямой \(\displaystyle k\small.\)
Получаем, что
- точки \(\displaystyle A_{1}\) и \(\displaystyle B_{1}\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small,\)
- точки \(\displaystyle A_{2}\) и \(\displaystyle B_{2}\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small,\)
- точки \(\displaystyle A_{3}\) и \(\displaystyle B_{3}\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small,\)
- точки \(\displaystyle A_{4}\) и \(\displaystyle B_{4}\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Значит, четырёхугольники \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Выясним, симметричны ли четырёхугольники \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Для этого обозначим вершины четырёхугольников и выясним, есть ли среди них точки, симметричные относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Проведем прямую через точки \(\displaystyle C_{1}\) и \(\displaystyle D_{1} \small.\) Эта прямая перпендикулярна прямой \(\displaystyle k\small,\) но расстояние от точки \(\displaystyle C_{1}\) до прямой \(\displaystyle k\) составляет \(\displaystyle 4\) клетки, а расстояние от точки \(\displaystyle D_{1}\) до прямой \(\displaystyle k\) равно \(\displaystyle 6\) клеток. Значит, точка \(\displaystyle D_{1}\) несимметрична точке \(\displaystyle C_{1}\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Проведем прямую через точки \(\displaystyle C_{1}\) и \(\displaystyle D_{2} \small.\)Эта прямая не перпендикулярна прямой \(\displaystyle k\small,\) а это значит, что точка \(\displaystyle D_{2}\) несимметрична точке \(\displaystyle C_{1}\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Аналогично проведем прямые через точки \(\displaystyle C_{1}\small,\) \(\displaystyle D_{3}\) и \(\displaystyle C_{1}\small,\) \(\displaystyle D_{4}\small.\) Эти прямые не перпендикулярны прямой \(\displaystyle k\small,\) а это значит, что точки \(\displaystyle D_{3}\) и \(\displaystyle D_{4}\) несимметричны точке \(\displaystyle C_{1}\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)
Таким образом, ни одна из вершин четырёхугольника \(\displaystyle D\) не симметрична вершине \(\displaystyle C_{1}\) четырёхугольника \(\displaystyle C\) относительно прямой \(\displaystyle k\small.\) Значит, четырёхугольники \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) несимметричны относительно прямой \(\displaystyle k\small.\)