Теория: 03 Построение симметричных фигур, осевая симметрия (короткая версия)

Расположим линейку, как на картинке, отметим карандашом точку на расстоянии от прямой\(\displaystyle p\small{,}\)равном расстоянию до этой прямой от точки\(\displaystyle A\small{,}\)обозначим отмеченную точку буквой\(\displaystyle L\)и проведем отрезок\(\displaystyle AL\small{.}\)

Проверим, действительно ли точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle L\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Если прямая\(\displaystyle p\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle L\small{,}\)то эти точки должны лежать на  прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle p\small{,}\)на равном расстоянии от неё.

Поскольку прямая\(\displaystyle p\)расположена горизонтально, а отрезок\(\displaystyle AL\)лежит на вертикальной прямой, то этот отрезок перпендикулярен прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расстояние от точки\(\displaystyle A\)до прямой\(\displaystyle p\)равно\(\displaystyle 1\)см\(\displaystyle 5\)мм, а длина отрезка\(\displaystyle AL\)в два раза больше —\(\displaystyle 3\)см. Значит, расстояние от точки\(\displaystyle L\)до прямой\(\displaystyle p\)также равно\(\displaystyle 1\)см\(\displaystyle 5\)мм.

Таким образом, точка\(\displaystyle L\)симметрична точке\(\displaystyle A\)относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расположим линейку, как на картинке, отметим карандашом точку на расстоянии от прямой\(\displaystyle p\small{,}\)равном расстоянию до этой прямой от точки\(\displaystyle B\small{,}\)обозначим отмеченную точку буквой\(\displaystyle Q\)и проведем отрезок\(\displaystyle BQ\small{.}\)

Проверим, действительно ли точки\(\displaystyle B\)и\(\displaystyle Q\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Если прямая\(\displaystyle p\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle B\)и\(\displaystyle Q\small{,}\)то эти точки должны лежать на  прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle p\small{,}\)на равном расстоянии от неё.

Поскольку прямая\(\displaystyle p\)расположена горизонтально, а отрезок\(\displaystyle BQ\)лежит на вертикальной прямой, то этот отрезок перпендикулярен прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расстояние от точки\(\displaystyle B\)до прямой\(\displaystyle p\)равно\(\displaystyle 3\)см, а длина отрезка\(\displaystyle BQ\)в два раза больше —\(\displaystyle 6\)см. Значит, расстояние от точки\(\displaystyle Q\)до прямой\(\displaystyle p\)также равно\(\displaystyle 3\)см.

Таким образом, точка\(\displaystyle Q\)симметрична точке\(\displaystyle B\)относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расположим линейку и карандаш, как на картинке, и проведем отрезок\(\displaystyle LQ\small{.}\)

Поскольку точка\(\displaystyle L\)симметрична точке\(\displaystyle A\)относительно прямой\(\displaystyle p\small,\)а точка\(\displaystyle Q\)симметрична точке\(\displaystyle B\)относительно прямой\(\displaystyle p\small,\)то отрезок\(\displaystyle LQ\)симметричен отрезку\(\displaystyle AB\)относительно прямой\(\displaystyle p\small.\)

Расположим линейку, как на картинке, отметим карандашом точку на расстоянии от прямой\(\displaystyle p\small{,}\)равном расстоянию до этой прямой от точки\(\displaystyle C\small{,}\)обозначим отмеченную точку буквой\(\displaystyle K\)и проведем отрезок\(\displaystyle CK\small{.}\)

Проверим, действительно ли точки\(\displaystyle C\)и\(\displaystyle K\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Если прямая\(\displaystyle p\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle C\)и\(\displaystyle K\small{,}\)то эти точки должны лежать на  прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle p\small{,}\)на равном расстоянии от неё.

Поскольку прямая\(\displaystyle p\)расположена горизонтально, а отрезок\(\displaystyle CK\)лежит на вертикальной прямой, то этот отрезок перпендикулярен прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расстояние от точки\(\displaystyle C\)до прямой\(\displaystyle p\)равно\(\displaystyle 2\)см\(\displaystyle 5\)мм, а длина отрезка\(\displaystyle CK\)в два раза больше —\(\displaystyle 5\)см. Значит, расстояние от точки\(\displaystyle K\)до прямой\(\displaystyle p\)также равно\(\displaystyle 2\)см\(\displaystyle 5\)мм.

Таким образом, точка\(\displaystyle K\)симметрична точке\(\displaystyle C\)относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расположим линейку, как на картинке, отметим карандашом точку на расстоянии от прямой\(\displaystyle p\small{,}\)равном расстоянию до этой прямой от точки\(\displaystyle D\small{,}\)обозначим отмеченную точку буквой\(\displaystyle T\)и проведем отрезок\(\displaystyle DT\small{.}\)

Проверим, действительно ли точки\(\displaystyle D\)и\(\displaystyle T\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Если прямая\(\displaystyle p\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle D\)и\(\displaystyle T\small{,}\)то эти точки должны лежать на  прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle p\small{,}\)на равном расстоянии от неё.

Поскольку прямая\(\displaystyle p\)расположена горизонтально, а отрезок\(\displaystyle DT\)лежит на вертикальной прямой, то этот отрезок перпендикулярен прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расстояние от точки\(\displaystyle D\)до прямой\(\displaystyle p\)равно\(\displaystyle 2\)см, а длина отрезка\(\displaystyle DT\)в два раза больше —\(\displaystyle 4\)см. Значит, расстояние от точки\(\displaystyle T\)до прямой\(\displaystyle p\)также равно\(\displaystyle 2\)см.

Таким образом, точка\(\displaystyle T\)симметрична точке\(\displaystyle D\)относительно прямой\(\displaystyle p\small{.}\)

Расположим линейку и карандаш, как на картинке, и проведем отрезок\(\displaystyle KT\small{.}\)

Поскольку точка\(\displaystyle K\)симметрична точке\(\displaystyle C\)относительно прямой\(\displaystyle p\small,\)а точка\(\displaystyle T\)симметрична точке\(\displaystyle D\)относительно прямой\(\displaystyle p\small,\)то отрезок\(\displaystyle KT\)симметричен отрезку\(\displaystyle CD\)относительно прямой\(\displaystyle p\small.\)