Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (параметры)

Задание

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) найдите показатель степени:

 

\(\displaystyle \frac{\phantom{1111}1\phantom{1111}}{\dfrac{\phantom{11}1\phantom{11}}{\frac{1}{a^{\,4}}}}= a\)
Решение

Для того чтобы привести данную дробь к обыкновенной, мы трижды используем определение отрицательной степени.

Определение

Отрицательная степень числа

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любого целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{a^{\,n}}=a^{\,-n}}{\small.}\)

Расставим скобки в исходной дроби (которые для удобства опускаются):

\(\displaystyle \frac{\phantom{1111}1\phantom{1111}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{a^{\,4}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}\right)}\Biggr)}{\small.}\)


Преобразуем первую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:

\(\displaystyle \frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}=\color{green}{a^{\,-4}}{\small.}\)

Подставляя в нашу дробь, получаем:

\(\displaystyle \frac{\phantom{1111}1\phantom{1111}}{\Biggl(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}\right)}\Biggr)}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}\right)}{\small.}\)

 

Преобразуем знаменатель полученной дроби в соответствии с определением отрицательной степени:

\(\displaystyle \frac{\phantom{11}1\phantom{11}}{\color{green}{a^{\,-4}}}=a^{\,-(-4)}=\color{red}{a^{\,4}}{\small.}\)

Вновь подставляя в нашу дробь, получаем:

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}\right)}=\frac{\phantom{1}1\phantom{1}}{\color{red}{a^{\,4}}}{\small.}\)


Еще раз используя определение отрицательной степени, получаем, что

\(\displaystyle \frac{\phantom{1}1\phantom{1}}{\color{red}{a^{\,4}}}=a^{-4}{\small.}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{\phantom{1111}1\phantom{1111}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{blue}{\frac{1}{a^{\,4}}}}}=\frac{\phantom{1111}1\phantom{1111}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}}=\frac{\phantom{1}1\phantom{1}}{\color{red}{a^{\,4}}}=a^{-4}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\,-4}{\small.}\)