Определите по рисунку, являются ли четырёхугольники \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричными относительно точки \(\displaystyle O\small{?}\)
Являются ли четырёхугольники \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) симметричными относительно точки \(\displaystyle O\small{?}\)
(Длина стороны клетки равна \(\displaystyle 1\)см.)
Центральная симметрия
Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) симметричны относительно точки \(\displaystyle O\small{,}\)если точка \(\displaystyle O\) является серединой отрезка \(\displaystyle MN\left(OM=ON\right)\small.\)
Симметрия относительно точки называется центральной симметрией.
Точка \(\displaystyle O\) называется центром симметрии.
Выясним, симметричны ли четырёхугольники \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) относительно точки \(\displaystyle O\small.\)
Для этого обозначим вершины четырёхугольников и проведем \(\displaystyle 4\) прямые, проходящие через точки \(\displaystyle A_{1}\)и\(\displaystyle B_{1}\small,\) \(\displaystyle A_{2}\)и\(\displaystyle B_{2}\small,\) \(\displaystyle A_{3}\)и\(\displaystyle B_{3}\small,\)\(\displaystyle A_{4}\)и\(\displaystyle B_{4}\) соответственно.
По рисунку видим, что все \(\displaystyle 4\) прямые проходят через точку\(\displaystyle O\small.\) Также заметим, что:
- расстояние от точки\(\displaystyle A_{1}\)до точки\(\displaystyle O\) составляет \(\displaystyle 3\)клетки и равно расстоянию от точки\(\displaystyle B_{1}\)до точки\(\displaystyle O\small,\)
- расстояние от точки\(\displaystyle A_{2}\)до точки\(\displaystyle O\) составляет \(\displaystyle 2\)клетки и равно расстоянию от точки\(\displaystyle B_{2}\)до точки\(\displaystyle O\small,\)
- расстояние от точки\(\displaystyle A_{3}\)до точки\(\displaystyle O\)является диагональю прямоугольника со сторонами\(\displaystyle 3\)и\(\displaystyle 5\)клеток и равно расстоянию от точки\(\displaystyle B_{3}\)до точки\(\displaystyle O\small,\)
- расстояние от точки\(\displaystyle A_{4}\)до точки\(\displaystyle O\)является диагональю прямоугольника со сторонами\(\displaystyle 1\)и\(\displaystyle 5\)клеток и равно расстоянию от точки\(\displaystyle B_{4}\)до точки\(\displaystyle O\small.\)
Получаем, что
- точки\(\displaystyle A_{1}\)и\(\displaystyle B_{1}\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small,\)
- точки\(\displaystyle A_{2}\)и\(\displaystyle B_{2}\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small,\)
- точки\(\displaystyle A_{3}\)и\(\displaystyle B_{3}\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small,\)
- точки\(\displaystyle A_{4}\)и\(\displaystyle B_{4}\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small.\)
Значит, четырёхугольники\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small.\)
Если четырёхугольники\(\displaystyle C\)и\(\displaystyle D\)симметричны относительно точки\(\displaystyle O\small,\)то для каждой вершины четырёхугольника\(\displaystyle C\)точка, симметричная ей относительно точки\(\displaystyle O\small,\)является вершиной четырёхугольника\(\displaystyle D\small.\)
Рассмотрим вершину\(\displaystyle C_{1}\)четырёхугольника\(\displaystyle C\)и построим точку\(\displaystyle F\small,\)симметричную точке\(\displaystyle C_{1}\)относительно точки\(\displaystyle O\small.\)
Заметим, что точка\(\displaystyle F\)не совпадает ни с одной из вершин четырёхугольника\(\displaystyle D\small.\)
Значит, четырёхугольники\(\displaystyle C\)и\(\displaystyle D\)несимметричны относительно точки\(\displaystyle O\small.\)