Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена \(\displaystyle -7x^2 + 56x - 52\small.\)
\(\displaystyle -7\big(x\) \(\displaystyle \big)^2 \)
Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle -7\) первых двух слагаемых:
\(\displaystyle -7x^2 + 56x - 52 = -7(x^2-8x)-52{\small.}\)
Далее будем работать с выражением в скобках.
Воспользуемся правилом.
Квадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2 - 8x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{8x}{ \color{red}{2} }=x^2-2\cdot 4x = x^2-2\cdot x \cdot 4{\small .}\)
Сравним формулу и выражение \(\displaystyle x^2-2\cdot x \cdot4{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=4{\small , }\) и надо добавить к последнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{4}^2=\color{green}{16}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2 - \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}\,+\,\color{green}{16}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому к выражению \(\displaystyle x^2 - 8x \) прибавим и одновременно вычтем из него число \(\displaystyle 16\) так, чтобы получить полный квадрат:
\(\displaystyle (x^2-8x+\color{green}{16})-\color{green}{16}= (x^2 - 2\cdot x \cdot 4 + 4^2) - 16 = (x-4)^2-16{\small .}\)
Таким образом, получили:
\(\displaystyle x^2-8x = (x-4)^2-16{\small .}\)
Вернемся к исходному выражению:
\(\displaystyle -7(x^2-8x)-52 = -7((x-4)^2-16)-52{\small.}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle -7((x-4)^2-16)-52 = -7(x-4)^2-7\cdot(-16)-52{\small.}\)
Досчитаем:
\(\displaystyle -7(x-4)^2-7\cdot(-16)-52 = -7(x-4)^2+112-52= -7(x-4)^2+60{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -7x^2 + 56x - 52 = -7(x-4)^2+60{\small .}\)