Из пункта \(\displaystyle A\) круговой трассы выехал велосипедист. Через \(\displaystyle 30\) минут он еще не вернулся в пункт \(\displaystyle A\) и из пункта \(\displaystyle A\) следом за ним отправился мотоциклист. Через \(\displaystyle 10\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \(\displaystyle 30\) минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если длина трассы равна \(\displaystyle 16{,}5\) км.
Ответ дайте в км/ч.
| скорость велосипедиста: | км/ч; |
| скорость мотоциклиста: | км/ч. |
Пусть \(\displaystyle x\) км/ч – скорость мотоциклиста, а \(\displaystyle y\) км/ч – скорость велосипедиста.
1. Рассмотрим ситуацию с момента старта до момента, когда мотоциклист догнал велосипедиста первый раз.
Определим время до первой встречи мотоциклиста и велосипедиста:
мотоциклист затратил \(\displaystyle \frac{1}{6}\)часа,
велосипедист провел в пути \(\displaystyle \frac{2}{3}\)часа.
За это время:
- мотоциклист со скоростью \(\displaystyle x\) км/ч проехал \(\displaystyle x \cdot \frac{1}{6}\)км,
велосипедист со скоростью \(\displaystyle y\) км/ч проехал \(\displaystyle y\cdot \frac{2}{3}\)км.
Поскольку за это время они проехали одинаковое расстояние, получаем уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{6}\,x=\frac{2}{3}\,y{\small .}\)
2. Рассмотрим, что происходило с первой до второй встречи мотоциклиста и велосипедиста.
Второй раз мотоциклист догнал велоcиспедиста через \(\displaystyle 30\) после первой встречи:
\(\displaystyle 30\)мин\(\displaystyle =\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\)часа.
За это время мотоциклист проехал \(\displaystyle x \cdot \frac{1}{2}{\small ,}\) а велосипедист – \(\displaystyle y \cdot \frac{1}{2}{\small }\)км.
Так как движение происходило по кругу, то мотоциклист догнал велосипедиста, когда с момента первой встречи он проехал ровно на один круг (или \(\displaystyle 16{,}5\) км) больше, чем велосипедист.
Другими словами,
\(\displaystyle \frac{1}{2}\,x=\frac{1}{2}\,y+16,5{\small .}\)
3. Запишем и решим систему уравнений.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{1}{6}\,x&=\frac{2}{3}\,y\\[5px]\frac{1}{2}\,x&=\frac{1}{2}\,y+16,5{\small .}\\\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x=44{\small,}\) \(\displaystyle y=11{\small.}\)
Значит, скорость велосипедиста составляет \(\displaystyle 11\) км/ч, а мотоциклиста – \(\displaystyle 44\) км/ч,
| Ответ: | скорость велосипедиста: | \(\displaystyle 11\)км/ч; |
| скорость мотоциклиста: | \(\displaystyle 44\)км/ч. |