Теория: 12 Решение текстовых задач на движение с помощью системы уравнений (движение по замкнутой трассе) (короткая версия)

Путь в \(\displaystyle 180\) км первый гонщик проедет за \(\displaystyle \frac{180}{x}\) часов, а второй – за \(\displaystyle \frac{180}{y}{\small }\)часов.

По условию на финиш первый пришел на \(\displaystyle 10\)минут раньше второго. Значит, время второго гонщика на \(\displaystyle 10\)минут больше, чем время первого.

\(\displaystyle 10\)мин\(\displaystyle =\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)часа.

Можем составить уравнение:

\(\displaystyle \frac{180}{y}-\frac{180}{x}=\frac{1}{6}{\small .}\)

\(\displaystyle 15\)мин\(\displaystyle =\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\)часа.

Найдем растояние, пройденное гонщиками за \(\displaystyle \frac{1}{4}\) часа. Оно составит:

• \(\displaystyle \frac{1}{4}\,x\) км для первого гонщика;

• \(\displaystyle \frac{1}{4}\,y\) км для первого гонщика.

За это время первый гонщик обогнал второго на круг, то есть проехал на один круг, или на \(\displaystyle 3\) км, больше. Получаем уравнение:

\(\displaystyle \frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4}\,y=3{\small .}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4}\,y=3 \,\,\bigg| \red{\cdot 4}\)

\(\displaystyle x-y=12 {\small ,}\)

\(\displaystyle y=x-12 {\small .}\)

Перенесём все члены уравнения на одну сторону и приведём к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{180}{x-12}-\frac{180}{x}-\frac{1}{6}=0{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{180 \cdot 6x-180 \cdot 6\cdot (x-12)-x\cdot (x-12)}{6 x (x-12)}=0{ \small .}\)

Решим полученное дробно-рациональное уравнение. 

Знаменатель не равен нулю при

\(\displaystyle 6x(x-12)\,{\cancel=}\,0{\small ,} \)

\(\displaystyle \color{red}{ x \,{\cancel=}\,0}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x\,{\cancel=}\,12}{\small .} \)

Перейдём к уравнению:

\(\displaystyle 180 \cdot 6x-180 \cdot 6\cdot (x-12)-x\cdot (x-12)=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 180 \cdot 6x-180 \cdot 6x+180 \cdot 6\cdot 12-x^2+12x=0{\small ,}\)

\(\displaystyle -x^2+12x+180 \cdot 6\cdot 12=0\,\,\bigg| \red{\cdot (-1)}\)

\(\displaystyle x^2-12x-180 \cdot 6\cdot 12=0{\small .}\)

Решим квадратное уравнение.

\(\displaystyle {\rm D}=(-12)^2+4\cdot 180 \cdot 6\cdot 12=\color{blue}{12^2}+\color{blue}{4\cdot 3} \cdot 60 \cdot 6\cdot \color{blue}{12}=\color{blue}{12^2} \cdot(1+360)=12^2 \cdot 19^2{\small .}\)

\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=12\cdot 19{\small .}\)

Поэтому

\(\displaystyle x_1=\frac{12+12\cdot 19}{2}=\frac{12 \cdot (1+19)}{2}=120{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{12-12\cdot 19}{2}=\frac{12 \cdot (1-19)}{2}=-108{\small .}\)

Полученные значения не обращают знаменатель исходного дробно-рационального уравнения в ноль.