Не решая систему, определите число её решений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=3x+4 {\small,}\\y=4x+3 {\small.}\end{aligned}\right.\)
Система уравнений .
Воспользуемся правилом:
Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Для системы линейных уравнений вида
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=k_1x+b_1 {\small,}\\y=k_2x+b_2 {\small}\end{aligned}\right.\)
верно следующее:
- если \(\displaystyle k_1 \, \cancel = \,k_2{\small,}\) то система имеет единственное решение;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 \, \cancel = \,b_2 {\small,}\) то система не имеет решений;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 = b_2 {\small,}\) то система имеет бесконечно много решений.
В каждом уравнении системы
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=3x+4 {\small,}\\y=4x+3 {\small.}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle y\) уже выражено через \(\displaystyle x {\small.}\)
Сравним коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при переменной \(\displaystyle x {\small. }\)
- Если они не равны, то согласно правилу система имеет единственное решение.
- Если они равны, то сравним свободные члены \(\displaystyle \color {blue}{b_1}\) и \(\displaystyle \color {blue}{b_2}{\small}\) и определим,
имеет ли система бесконечно много решений или не имеет решений.
Выделим коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при \(\displaystyle x {\small }\) в каждом из уравнений:
\(\displaystyle y=\red{3}x+4\) и \(\displaystyle y=\red{4}x+3{\small.}\)
Видим, что \(\displaystyle \red{k_1=3} \,\, \cancel = \, \,\red{4=k_2}{\small.}\)
Значит, согласно правилу, система уравнений имеет единственное решение.
Ответ: система уравнений имеет единственное решение.