Не решая систему, определите число её решений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=-2x-6 {\small,}\\y=-2x-6 {\small.}\end{aligned}\right.\)
Система уравнений .
Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Для системы линейных уравнений вида
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=k_1x+b_1 {\small,}\\y=k_2x+b_2 {\small}\end{aligned}\right.\)
верно следующее:
- если \(\displaystyle k_1 \, \cancel = \,k_2{\small,}\) то система имеет единственное решение;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 \, \cancel = \,b_2 {\small,}\) то система не имеет решений;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 = b_2 {\small,}\) то система имеет бесконечно много решений.
В каждом уравнении системы
\(\displaystyle \begin{cases}y=-2x-6 {\small,}\\y=-2x-6 {\small}\end{cases}\)
\(\displaystyle y\) уже выражено через \(\displaystyle x {\small.}\)
Cравним коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при переменной \(\displaystyle x {\small. }\)
- Если они не равны, то система имеет единственное решение.
- Если они равны, то сравним свободные члены \(\displaystyle \color {blue}{b_1}\) и \(\displaystyle \color {blue}{b_2}{\small}\) и определим,
имеет ли система бесконечно много решений или не имеет решений.
1. Выделим коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при \(\displaystyle x {\small }\) в каждом из уравнений и сравним их:
\(\displaystyle y=\red{-2}x-{6}\) и \(\displaystyle y=\red{-2}x-{6}{\small.}\)
Видим, что
\(\displaystyle \red{k_1}=\red{-2}=\red{k_2} {\small.}\)
Коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) равны, значит, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Чтобы определить, какая из ситуаций реализуется, сравним свободные члены.
2. Выделим коэффициенты \(\displaystyle \color {blue}{b_1}\) и \(\displaystyle \color {blue}{b_2}{\small}\) в каждом из уравнений и сравним их:
\(\displaystyle y={-2}x\color {blue}{-6}\) и \(\displaystyle y={-2}x\color {blue}{-6}{\small.}\)
Видим, что
\(\displaystyle \color {blue}{b_1}=\color {blue}{-6} =\color {blue}{b_2}{\small.}\)
Согласно правилу, исходная система уравнений имеет бесконечно много решений.
Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений.