Не решая систему, определите число её решений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=5x-7 {\small,}\\y=5x+7 {\small.}\end{aligned}\right.\)
Система уравнений .
Воспользуемся правилом:
Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Для системы линейных уравнений вида
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=k_1x+b_1 {\small,}\\y=k_2x+b_2 {\small}\end{aligned}\right.\)
верно следующее:
- если \(\displaystyle k_1 \, \cancel = \,k_2{\small,}\) то система имеет единственное решение;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 \, \cancel = \,b_2 {\small,}\) то система не имеет решений;
- если \(\displaystyle k_1 = k_2{\small}\) и \(\displaystyle b_1 = b_2 {\small,}\) то система имеет бесконечно много решений.
В каждом уравнении системы
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=5x-7 {\small,}\\y=5x+7 {\small.}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle y\) уже выражено через \(\displaystyle x {\small.}\)
Сравним коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при переменной \(\displaystyle x {\small. }\)
- Если они не равны, то согласно правилу система имеет единственное решение.
- Если они равны, то сравним свободные члены \(\displaystyle \color {blue}{b_1}\) и \(\displaystyle \color {blue}{b_2}{\small}\) и определим,
имеет ли система бесконечно много решений или не имеет решений.
1. Выделим коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) при \(\displaystyle x {\small }\) в каждом из уравнений:
\(\displaystyle y=\red{5}x-7\) и \(\displaystyle y=\red{5}x+7{\small.}\)
Видим, что
\(\displaystyle \red{k_1=5=} \,\red{k_2}{\small.}\)
Коэффициенты \(\displaystyle \red{k_1}\) и \(\displaystyle \red{k_2}\) равны, значит, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
2. Выделим коэффициенты \(\displaystyle \color {blue}{b_1}\) и \(\displaystyle \color {blue}{b_2}{\small}\) в каждом из уравнений и сравним их:
\(\displaystyle y={5}x\color {blue}{-7}\) и \(\displaystyle y={5}x+\color {blue}{7}{\small.}\)
Видим, что
\(\displaystyle \color {blue}{b_1}=\color {blue}{-7} \,\, \cancel = \, \,\color {blue}{7}=\color {blue}{b_2}{\small.}\)
Согласно правилу, система уравнений не имеет решений.
Ответ: система уравнений не имеет решений.