Считая параметры \(\displaystyle z\) и \(\displaystyle u\) положительными, дополните до удвоенного произведения так, чтобы после приведения подобных получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle 4z^{\,2}\)\(\displaystyle -zu+9u^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое:
\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}{\small . }\)
Известно, что выражение
\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=(a+b\,)^2{\small , }\)
\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small . }\)
Заметим, что \(\displaystyle 4z^{\,2}=2^2z^{\,2}=(2z\,)^2\) и \(\displaystyle 9u^{\,2}=3^2u^{\,2}=(3u\,)^2{\small . }\)
Нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\,2}=(2z\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=(3u\,)^2{\small . }\)
Неизвестно удвоенное произведение:
\(\displaystyle 2ab=\color{red}{(\,?-zu\,)}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{2z}\) или \(\displaystyle \color{green}{-2z}{\small , }\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3u}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3u}{\small . }\)
Поскольку параметры \(\displaystyle z\) и \(\displaystyle u\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{2z}{\small , }\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{3u}{\small . }\)
Поэтому
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 2z\cdot 3u{\small , }\)
\(\displaystyle 2ab=12zu{\small . }\)
Следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{?-zu}=12zu{\small , }\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=12zu+zu{\small , }\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=13zu{\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}\color{red}{+13zu}-zu+9u^{\,2}\)
и
\(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2{\small . }\)