Упростите выражение
найдите его значение при \(\displaystyle c=0,\!25\) и \(\displaystyle b=5{\small:}\)
\(\displaystyle 1{\small.}\) Упростим выражение:
\(\displaystyle \left(- \frac{4c}{3b^{\,-1}} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{c^{\,-4}}{256b^{\,6}}\right)^{-1} {\small.}\)
Воспользуемся правилом:
Дробь в отрицательной степени
Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a{\small,}\, b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \bigg(\frac{a}{b}\,\bigg)^{-n}=\bigg(\frac{b}{a}\bigg)^{n}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(\frac{4c}{-3b^{\,-1}} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{c^{\,-4}}{256b^{\,6}}\right)^{-1}=\left( \frac{-3b^{\,-1}}{4c} \right)^{4} \cdot \left( \frac{256b^{\,6}}{c^{\,-4}}\right)^{1} {\small.}\)
\(\displaystyle \left( \frac{-3b^{\,-1}}{4c} \right)^\color{red}{4} \cdot \left( \frac{256b^{\,6}}{c^{\,-4}}\right)^{1}=\frac{(-3)^\color{red}{\,4} \cdot \left(b^{\,-1} \right)^\color{red}{4}}{4^\color{red}{\,4} \cdot c^\color{red}{\,4}} \cdot \frac{256b^{\,6}}{c^{\,-4}} =\frac{81 \cdot b^{\,-4} \cdot \cancel{256} \cdot b^{\,6}}{\cancel{256} \cdot c^{\,4} \cdot c^{\,-4}}=\frac{81 \cdot b^{\,-4} \cdot b^{\,6}}{ c^{\,4} \cdot c^{\,-4}}{\small.}\)
\(\displaystyle \frac{81 \cdot b^{\,-4} \cdot b^{\,6}}{ c^{\,4} \cdot c^{\,-4}}=\frac{81 \cdot b^{\,-4+6} }{ c^{\,4-4}}=\frac{81 \cdot b^{\, 2} }{ c^{\,0}}=81b^{\,2}{\small.}\)
\(\displaystyle 2{\small.}\) Найдём значение полученного выражения при \(\displaystyle c=0,\!25\) и \(\displaystyle b=5{\small.}\)
В результате преобразования переменная \(\displaystyle c\) сократилась. Подставим \(\displaystyle b=5{\small:}\)
\(\displaystyle 81b^{\,2}=81 \cdot 5^{\,2}=81 \cdot 25=2025{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2025{\small.}\)