Решите систему линейных неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 5(x+4)-18&> 3(x-2)+14{\small , }\\7(x+3)-12&\geqslant10(x-1)+4{\small . } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle x\in\)
Решим систему линейных неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 5(x+4)-18&>3(x-2)+14{\small , }\\7(x+3)-12&\geqslant10(x-1)+4{\small . } \end{aligned} \right. \)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x+20-18&> 3x-6+14{ \small ,}\\7x+21-12&\geqslant 10x-10+4{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x-3x &> -6+14-20+18{ \small ,}\\7x-10x&\geqslant -10+4-21+12{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x &> 6{ \small ,}\\-3x&\geqslant -15{\small .}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)
При этом в случае деления на положительное число знак неравенства не изменится, а при делении на отрицательное число – поменяется на противоположный:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x&>6\,\,\,\,\,\,\,\,\,|:\color{blue}{ 2>0}\\-3x&\geqslant -15\,|:\color{red}{ (-3)<0}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x& > 3{ \small ,}\\x&\leqslant5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим решения полученной системы простейших линейных неравенств на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим множество точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x>3{\small :}\)
Здесь же изобразим множество точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x\leqslant5{\small :}\)
Видим, что пересечение данных промежутков – промежуток \(\displaystyle (3;5]{\small .} \)
То есть решением системы неравенств является полуинтервал \(\displaystyle (3;5]{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle (3;5]{\small .} \)