Решите систему линейных неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2(x+1)-5\leqslant4x-9{\small , }\\5x+2\leqslant3(x-1)+1{\small . } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle x\in\)
Решим систему линейных неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2(x+1)-5\leqslant4x-9{\small , }\\5x+2\leqslant3(x-1)+1{\small . } \end{aligned} \right. \)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x+2-5 \leqslant 4x-9{ \small ,}\\5x+2\leqslant 3x-3+1{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-4x& \leqslant -9-2+5{ \small ,}\\5x-3x&\leqslant -3+1-2{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x& \leqslant -6{ \small ,}\\2x&\leqslant -4{\small .}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)
При этом в случае деления на положительное число знак неравенства не изменится, а при делении на отрицательное – знак поменяется на противоположный:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x& \leqslant -6\,|:\color{red}{ (-2)<0}\\2x&\leqslant -4 \,|:\color{blue}{ 2>0}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x& \geqslant 3{ \small ,}\\x&\leqslant -2{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим решения полученной системы простейших линейных неравенств на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим множество точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x\geqslant3{\small :}\)
Здесь же изобразим множество точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x\leqslant-2{\small :}\)
Видим, что промежутки не имеют общих точек, их пересечение пусто.
Значит, система неравенств не имеет решений.
Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .}\)