Теория: 10 Квадратные неравенства (параметр) (короткая версия)

Выделим коэффициенты данного квадратного уравнения:

\(\displaystyle \red{1}x^2 \color {blue} {-p} x +\color {green}{8+p} =0 { \small .}\)

Значит,

\(\displaystyle \)\(\displaystyle a=\red{1} { \small ,} \,\, b=\color {blue} {-p} { \small ,} \,\, c=\color {green}{8+p} { \small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle {\rm D}= (\color {blue} {-p})^2-4\cdot \red{1} \cdot (\color {green}{8+p}){ \small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}= p^2 -4p-32{ \small .}\)

Решим квадратное неравенство  \(\displaystyle p^2-4p-32> 0\) графическим методом.

Для этого решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle p^2-4p-32 = 0{\small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-32)=144{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=12{\small . } \)

\(\displaystyle p_1=\frac{ 4+12}{ 2 }=8{ \small ,}\,\,\,\, p_2=\frac{4-12 }{ 2 }=-4 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=p^2-4p-32\) с учетом точек пересечения параболы с осью абсцисс.

Для решения неравенства \(\displaystyle p^2-4p-32 > 0\) выделим точки параболы, лежащие выше горизонтальной оси, и найдём абсциссы данных точек:

Решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:

Запишем решение неравенства в виде числовых промежутков:

\(\displaystyle p \in (-\infty;-4) \cup (8;+\infty){\small .} \)