Все числа некоторого набора увеличили на \(\displaystyle 5 {\small .}\)
На сколько увеличилось среднее набора?
Предположим, что в исходном наборе \(\displaystyle n\) чисел, сумма которых равна \(\displaystyle S \small.\)
Значит,
\(\displaystyle {\rm среднее \ исходного \ набора \ чисел}=\frac{S}{n}{\small .}\)
Если увеличить на \(\displaystyle 5\) каждое из \(\displaystyle n\) чисел исходного набора, то сумма чисел нового набора увеличится на \(\displaystyle 5 \cdot n\) и станет равной \(\displaystyle S+5n \small.\)
В новом наборе такое же количество чисел, как и в исходном, – \(\displaystyle n\small,\) поэтому
\(\displaystyle {\rm среднее \ нового \ набора \ чисел}=\frac{S+5n}{n}{\small .}\)
Итак, у исходного набора среднее арифметическое составляло \(\displaystyle \frac{S}{n}{\small ,}\) а у нового набора среднее арифметическое составило \(\displaystyle \frac{S+5n}{n}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \frac{S+5n}{n}\) больше, чем \(\displaystyle \frac{S}{n}{\small ,}\)то среднее арифметическое увеличилось на
\(\displaystyle \frac{S+5n}{n}-\frac{S}{n}=\frac{\cancel{S}+5n-\cancel{S}}{n}=\frac{5\cancel{n}\,^1}{\cancel{n}\,_1}=5{\small .}\)
Ответ: на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Если каждое число набора увеличить на одно и то же число \(\displaystyle a\small,\) то среднее арифметическое набора увеличится на это же число \(\displaystyle a\small.\)
Среднее набора будем обозначать через \(\displaystyle \bar{x}\small.\)
Тогда замечание можно представить в виде
Если каждое число набора со средним \(\displaystyle \bar{x}\small\) увеличить на одно и то же число \(\displaystyle a\small,\) то средним нового набора будет \(\displaystyle \bar{x} +a\small.\)