Skip to main content

Теория: Стороны (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle AB\)  и \(\displaystyle CD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle K\) так, что \(\displaystyle BT=DK{\small.}\)

Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) параллелограммом? 

Почему? 

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм по условию.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, то есть

\(\displaystyle \color{brown}{AB} \parallel \color{brown}{CD}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{brown}{AB}=\color{brown}{CD}{\small.}\)

 

По условию \(\displaystyle \color{green}{BT}=\color{green}{DK}{\small.}\)

Точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle K\) лежат на отрезках \(\displaystyle \color{brown}{AB}\) и \(\displaystyle \color{brown}{CD}\) соответственно. Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{AT}=\color{brown}{AB}-\color{green}{BT}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{CK}=\color{brown}{CD}-\color{green}{DK}{\small.}\)

Так как разности соответственно равных отрезков равны, то

\(\displaystyle \color{blue}{AT}=\color{blue}{CK}{\small.}\)
 

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle ATCK{\small:}\)

 

  • \(\displaystyle \color{blue}{AT}=\color{blue}{CK}{\small,}\)

  • \(\displaystyle \color{blue}{AT} \parallel \color{blue}{CK}{\small,}\) так как лежат на параллельных сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

Противоположные стороны \(\displaystyle AT\) и \(\displaystyle CK\) четырёхугольника \(\displaystyle ATCK\) параллельны и равны.

Значит, четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) является параллелограммом.

 

Ответ:

Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) параллелограммом?   Да.

Почему?   Противоположные стороны параллельны и равны.