01Математика - Вероятность и Статистика - Операции над множествами. Диаграммы Эйлера (короткая версия)

Задание

Даны два множества: \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\small.\)

Расставьте результаты выполнения операций над множествами \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle S\) в таблице:

\(\displaystyle R \cap S=\)	Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle R \cup S=\)	Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle R \setminus S=\)	Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle S \setminus R=\)	Перетащите сюда правильный ответ

Решение

\(\displaystyle \color{darkviolet}1\small.\) Найдем \(\displaystyle R \cap S\).

\(\displaystyle R \cap S=\begin{Bmatrix}О{\small,} \; Я\end{Bmatrix} \small.\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}2\small.\) Найдем \(\displaystyle R \cup S\).

\(\displaystyle R \cup S=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; Л{\small,} \; Н{\small,} \; О{\small,} \; Т{\small,} \; Я\end{Bmatrix} \small.\)

\(\displaystyle R \cup S=?\)

Определение

Объединением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(\displaystyle A\) или \(\displaystyle B\small. \)

\(\displaystyle A \cup B\)

Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.

Возьмем все элементы множества \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}\color{blue}К{\small,} \; \color{blue}О{\small,} \; \color{blue}Л{\small,} \; \color{blue}Я\end{Bmatrix}\) – это буквы \(\displaystyle \color{blue}{К}{\small,}\;\color{blue}{О}{\small,}\;\color{blue}{Л}{\small,}\;\color{blue}{Я}\small.\)

Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}\color{red}Т{\small,} \; \color{blue}О{\small,} \; \color{red}Н{\small,} \; \color{blue}Я\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle R\small.\) Это буквы \(\displaystyle \color{red}{Т}\) и \(\displaystyle \color{red}{Н}\small. \)

Получаем набор букв, являющихся элементами множества \(\displaystyle R \cup S\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{К}{\small,} \; \color{blue}{О}{\small,} \; \color{blue}{Л}{\small,} \; \color{blue}{Я}{\small,} \; \color{red}{Т}{\small,} \; \color{red}{Н}\small. \)

Запишем множество \(\displaystyle R \cup S\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в алфавитном порядке:

\(\displaystyle R \cup S=\begin{Bmatrix}\color{blue}{К}{\small,} \; \color{blue}{Л}{\small,} \; \color{red}{Н}{\small,} \; \color{blue}{О}{\small,} \; \color{red}{Т} {\small,} \; \color{blue}{Я} \end{Bmatrix}\small.\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}3\small.\) Найдем \(\displaystyle R \setminus S\).

\(\displaystyle R \setminus S=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; Л\end{Bmatrix} \small.\)

\(\displaystyle R \setminus S=?\)

Определение

Разностью множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех элементов множества \(\displaystyle A\small,\) не принадлежащих множеству \(\displaystyle B\small. \)

\(\displaystyle A \setminus B\)

Чтобы найти разность множеств \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат множеству \(\displaystyle R\small,\) но не принадлежат множеству \(\displaystyle S\small. \) Или, что одно и то же, удалить из множества \(\displaystyle R\) элементы множества \(\displaystyle S{\small,}\) которые принадлежат множеству \(\displaystyle R\small.\)

Множеству \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) принадлежат буквы \(\displaystyle \color{blue}{К}{\small,}\;\color{red}{О}{\small,}\;\color{blue}{Л}{\small,}\;\color{red}{Я}\small.\)

Множеству \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) принадлежат буквы \(\displaystyle \color{black}{Т}{\small,}\;\color{red}{О}{\small,}\;\color{black}{Н}{\small,}\;\color{red}{Я}\small.\)

Удалим из множества \(\displaystyle R\) элементы множества \(\displaystyle S\small,\) которые принадлежат множеству \(\displaystyle R\small.\) Это буквы \(\displaystyle \color{red}{О}\) и \(\displaystyle \color{red}{Я}\small{:}\)

\(\displaystyle \begin{Bmatrix} \color{blue}{К}{\small,} \; \cancel{\color{red}{О}}{\small,} \; \color{blue}{Л}{\small,} \; \cancel{\color{red}{Я}}\end{Bmatrix}\small.\)

Оставшиеся элементы \(\displaystyle \color{blue}{К}\) и \(\displaystyle \color{blue}{Л}\) (и только они) принадлежат множеству \(\displaystyle R \setminus S\small: \)

\(\displaystyle R \setminus S =\begin{Bmatrix}\color{blue}{К}{\small,} \; \color{blue}{Л} \end{Bmatrix}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}4\small.\) Найдем \(\displaystyle S \setminus R\).

\(\displaystyle S \setminus R=\begin{Bmatrix}Н{\small,} \; Т\end{Bmatrix} \small.\)

\(\displaystyle S \setminus R=?\)

Определение

\(\displaystyle A \setminus B\)

Чтобы найти разность множеств \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат множеству \(\displaystyle S\small,\) но не принадлежат множеству \(\displaystyle R\small. \) Или, что одно и то же, удалить из множества \(\displaystyle S\) элементы множества \(\displaystyle R{\small,}\) которые принадлежат множеству \(\displaystyle S\small.\)

Множеству \(\displaystyle S=\begin{Bmatrix}Т{\small,} \; О{\small,} \; Н{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) принадлежат буквы \(\displaystyle \color{blue}{Т}{\small,}\;\color{red}{О}{\small,}\;\color{blue}{Н}{\small,}\;\color{red}{Я}\small.\)

Множеству \(\displaystyle R=\begin{Bmatrix}К{\small,} \; О{\small,} \; Л{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\) принадлежат буквы \(\displaystyle \color{black}{К}{\small,}\;\color{red}{О}{\small,}\;\color{black}{Л}{\small,}\;\color{red}{Я}\small.\)

Удалим из множества \(\displaystyle S\) элементы множества \(\displaystyle R\small,\) которые принадлежат множеству \(\displaystyle S\small.\) Это буквы \(\displaystyle \color{red}{О}\) и \(\displaystyle \color{red}{Я}\small{:}\)

\(\displaystyle \begin{Bmatrix} \color{blue}{Т}{\small,} \; \cancel{\color{red}{О}}{\small,} \; \color{blue}{Н}{\small,} \; \cancel{\color{red}{Я}}\end{Bmatrix}\small.\)

Оставшиеся элементы \(\displaystyle \color{blue}{Т}\) и \(\displaystyle \color{blue}{Н}\) (и только они) принадлежат множеству \(\displaystyle S \setminus R\small. \) Расположив их для наглядности в алфавитном порядке, получим

\(\displaystyle S \setminus R =\begin{Bmatrix}\color{blue}{Н}{\small,} \; \color{blue}{Т} \end{Bmatrix}{\small.}\)

Ответ:

\(\displaystyle R \cap S=\)	\(\displaystyle \begin{Bmatrix}О{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\)
\(\displaystyle R \cup S=\)	\(\displaystyle \begin{Bmatrix}К{\small,} \; Л{\small,} \; Н{\small,} \; О{\small,} \; Т{\small,} \; Я\end{Bmatrix}\)
\(\displaystyle R \setminus S=\)	\(\displaystyle \begin{Bmatrix}К{\small,} \; Л\end{Bmatrix}\)
\(\displaystyle S \setminus R=\)	\(\displaystyle \begin{Bmatrix}Н{\small,} \; Т\end{Bmatrix}\)

Теория: Диаграммы Эйлера (короткая версия)