Сначала найдём \(\displaystyle (A \cup B) \cap C\) и \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\) для множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) после чего проверим, верно ли равенство
\(\displaystyle (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\small.\)
\(\displaystyle \color{darkviolet}1\small.\) Найдём \(\displaystyle (A \cup B) \cap C\small.\)
Расставим порядок выполнения операций:
| | 1 | | 2 | |
| \(\displaystyle (A\) | \(\displaystyle \cup\) | \(\displaystyle B)\) | \(\displaystyle \cap\) | \(\displaystyle C\small.\) |
Первая операция – \(\displaystyle A \color{magenta}\cup B\small.\)
\(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix}2{\small;}\;6{\small;}\;8\end{Bmatrix}\small.\)
\(\displaystyle A \color{magenta}\cup B=\;?\)
ОпределениеОбъединением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(\displaystyle A\) или \(\displaystyle B\small. \)
\(\displaystyle A \cup B\)
Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.
Возьмем все элементы множества \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}\color{blue}6{\small;} \; \color{blue}8\end{Bmatrix}\) – это числа \(\displaystyle \color{blue}{6}\) и \(\displaystyle \color{blue}{8}\small.\)
Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}\color{red}2{\small;} \; \color{blue}6\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle A\small.\) Это число \(\displaystyle \color{red}{2}\small.\)
Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle A \cup B\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{6}{\small;}\;\color{blue}{8}{\small;} \; \color{red}{2}\small. \)
Запишем множество \(\displaystyle A \cup B\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:
\(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix}\color{red}{2}{\small;}\;\color{blue}{6}{\small;}\;\color{blue}{8}\end{Bmatrix}\small.\)
Вторая операция – \(\displaystyle (A \cup B) \color{magenta}\cap C\small.\)
\(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix} \small.\)
\(\displaystyle (A \cup B) \color{magenta}\cap C=\;?\)
ОпределениеПересечением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству \(\displaystyle A\small,\) так и множеству \(\displaystyle B\small. \)
\(\displaystyle A \cap B\)
Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам.
Множеству \(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix} 2{\small;} \; 6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{2}{\small;} \; \color{black}6{\small;} \; \color{red}8 \small.\)
Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}2{\small;} \; \color{red}8{\small .}\)
Видим, что числа \(\displaystyle \color{red}{2}\) и \(\displaystyle \color{red}8\) принадлежат обоим множествам.
Значит, они (и только они) образуют пересечение множеств \(\displaystyle A \cup B\) и \(\displaystyle C\small: \)
\(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\{\color{red}2{\small;} \; \color{red}8\}\small.\)
Итак, \(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix} \small.\)
\(\displaystyle \color{darkviolet}2\small.\) Найдём \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\small.\)
Расставим порядок выполнения операций:
| | 1 | | 3 | | 2 | |
| \(\displaystyle (A\) | \(\displaystyle \cap\) | \(\displaystyle C)\) | \(\displaystyle \cup\) | \(\displaystyle (B\) | \(\displaystyle \cap\) | \(\displaystyle C)\small.\) |
Первая операция – \(\displaystyle A \color{magenta}\cap C\small.\)
\(\displaystyle A \cap C=\{8\}\small.\)
\(\displaystyle A \color{magenta}\cap C=\;?\)
ОпределениеПересечением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству \(\displaystyle A\small,\) так и множеству \(\displaystyle B\small. \)
\(\displaystyle A \cap B\)
Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам.
Множеству \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{black}{6}{\small;} \; \color{red}8\small.\)
Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{black}2{\small;} \; \color{red}8{\small .}\)
Видим, что число \(\displaystyle \color{red}8\) принадлежит обоим множествам.
Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\small: \)
\(\displaystyle A \cap C=\{\color{red}8\}\small.\)
Вторая операция – \(\displaystyle B \color{magenta}\cap C\small.\)
\(\displaystyle B \cap C=\{2\}\small.\)
\(\displaystyle B \color{magenta}\cap C=\;?\)
ОпределениеПересечением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству \(\displaystyle A\small,\) так и множеству \(\displaystyle B\small. \)
\(\displaystyle A \cap B\)
Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам.
Множеству \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{2}{\small;} \; \color{black}6\small.\)
Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}2{\small;} \; \color{black}8{\small .}\)
Видим, что число \(\displaystyle \color{red}2\) принадлежит обоим множествам.
Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small:\)
\(\displaystyle B \cap C=\{\color{red}2\}\small.\)
Третья операция – \(\displaystyle (A \cap C) \color{magenta}\cup (B \cap C)\small.\)
\(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix} \small.\)
\(\displaystyle (A \cap C) \color{magenta}\cup (B \cap C)=\;?\)
ОпределениеОбъединением множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(\displaystyle A\) или \(\displaystyle B\small. \)
\(\displaystyle A \cup B\)
Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle B \cap C=\begin{Bmatrix}2\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.
Возьмем все элементы множества \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}\color{blue}8\end{Bmatrix}\) – это число \(\displaystyle \color{blue}{8}\small.\)
Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle B \cap C=\begin{Bmatrix}\color{red}2\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle A\small.\) Это число \(\displaystyle \color{red}{2}\small. \)
Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{8}{\small;} \; \color{red}{2}\small. \)
Запишем множество \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:
\(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix}\color{red}{2}{\small;}\;\color{blue}{8}\end{Bmatrix}\small.\)
Итак, \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix} \small.\)
Видим, что \(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix} \small.\)
Значит, для множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) имеем верное равенство
\(\displaystyle (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\small.\)
Ответ:
| Проверка для множеств \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C \! \small:\) |
| Левая часть равенства: | Правая часть равенства: |
| \(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\begin{Bmatrix} 2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) | \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix} 2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) |
Результат проверки для множеств \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C \! \small:\) |
| \(\displaystyle (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\small.\) |