Теория: 04 Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения (короткая версия)

\(\displaystyle B \color{magenta}\cup C=\;?\)

Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}4{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.  

Возьмем все элементы множества \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}\color{blue}1{\small;} \; \color{blue}8\end{Bmatrix}\) –  это числа \(\displaystyle \color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{8}\small.\)

Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}\color{red}4{\small;} \; \color{blue}8\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle B\small.\)  Это число \(\displaystyle \color{red}{4}\small.\)

Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle B \cup C\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{1}{\small;}\;\color{blue}{8}{\small;} \; \color{red}{4}\small. \)

Запишем множество \(\displaystyle B \cup C\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:

\(\displaystyle B \cup C=\begin{Bmatrix}\color{blue}{1}{\small;} \; \color{red}{4}{\small;} \; \color{blue}{8}\end{Bmatrix}\small.\)

\(\displaystyle A\color{magenta}\cap (B \cup C)=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\small\) и \(\displaystyle B \cup C=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}1{\small;} \; \color{red}4{\small .}\)

Множеству \(\displaystyle B \cup C=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{1}{\small;} \; \color{red}4{\small;} \; \color{black}8\small.\)

Видим, что числа \(\displaystyle \color{red}{1}\) и \(\displaystyle \color{red}{4}\) принадлежит обоим множествам.

Значит, они (и только они) образуют пересечение множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B \cup C\small:\) 

\(\displaystyle A \cap (B \cup C)=\begin{Bmatrix}\color{red}1{\small;} \; \color{red}4\end{Bmatrix}\small.\)

\(\displaystyle A \color{magenta}\cap B=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{1}{\small;} \; \color{black}4\small.\)

Множеству \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}1{\small;} \; \color{black}8{\small .}\)

Видим, что число \(\displaystyle \color{red}1\) принадлежит обоим множествам.

Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small: \) 

\(\displaystyle A \cap B=\{\color{red}1\}\small.\)

\(\displaystyle A \color{magenta}\cap C=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}4{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{black}{1}{\small;} \; \color{red}4\small.\)

Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}4{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}4{\small;} \; \color{black}8{\small .}\)

Видим, что число \(\displaystyle \color{red}4\) принадлежит обоим множествам.

Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\small: \) 

\(\displaystyle A \cap C=\{\color{red}4\}\small.\)

\(\displaystyle (A \cap B) \color{magenta}\cup (A \cap C)=\;?\)

Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle A \cap B=\begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}4\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.  

Возьмем все элементы множества \(\displaystyle A \cap B=\begin{Bmatrix}\color{blue}1\end{Bmatrix}\) –  это число \(\displaystyle \color{blue}{1}\small.\)

Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}\color{red}4\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle A \cap B\small.\) Это число \(\displaystyle \color{red}{4}\small. \)

Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)\!\small:\) \(\displaystyle \color{blue}{1}{\small;} \; \color{red}{4}\small. \)

Запишем множество \(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:

\(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)=\begin{Bmatrix}\color{blue}{1}{\small;}\;\color{red}{4}\end{Bmatrix}\small.\)

Множеству \(\displaystyle A \cap (B \cup C)=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{blue}1\) и \(\displaystyle \color{blue}4\small .\)

Множеству \(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)=\begin{Bmatrix}1{\small;} \; 4\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{blue}1\) и \(\displaystyle \color{blue}4\small .\)

Так как все элементы множества \(\displaystyle A \cap (B \cup C)\) –  числа  \(\displaystyle \color{blue}1\) и \(\displaystyle \color{blue}4\small ,\) принадлежат множеству \(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)\small ,\) то множество \(\displaystyle A \cap (B \cup C)\) является подмножеством множества \(\displaystyle (A \cap B) \cup (A \cap C)\small :\)

\(\displaystyle A \cap (B \cup C) \; \subset \; (A \cap B) \cup (A \cap C)\small.\) 

Заметим при этом, что данные множества состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равны.