Skip to main content

Теория: 01 Синус, косинус и площадь

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) \(\displaystyle \angle A=75^{\circ}\small,\) \(\displaystyle \angle C=60^{\circ}\small.\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) если \(\displaystyle AC=14\small.\)

\(\displaystyle S=\)
\frac{49(3+\sqrt{3})}{2}
Решение

Построим рисунок к условию задачи:

В треугольнике \(\displaystyle ABC\small{:}\)

  • \(\displaystyle \angle A=75^{\circ}\small,\) 
  • \(\displaystyle \angle C=60^{\circ}\small,\) 
  • \(\displaystyle AC=14\small.\)

    Площадь треугольника равна половине произведения стороны (основания) треугольника на высоту, проведенную к этой стороне.

    Тогда проведем одну из высот, вычислим ее длину и длину основания.
     

    Проведем высоту из вершины \(\displaystyle A\small.\)

    Получилось два прямоугольных треугольника: \(\displaystyle AHC\) и \(\displaystyle AHB\small.\)

    В треугольнике \(\displaystyle AHC\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 60^{\circ}\) и гипотенуза \(\displaystyle AC=14\small.\) Тогда:

    • \(\displaystyle AH=AC\cdot\sin60^{\circ}=14\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}\small,\)\(\displaystyle \\ \)
    • \(\displaystyle CH=AC\cdot\cos60^{\circ}=14\cdot\frac{1}{2}=7\small.\)

     

      Найдем острые углы прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH\small.\)


       

      Таким образом, треугольник \(\displaystyle ABH\) равнобедренный:

      \(\displaystyle \angle BAH=\angle ABH=45^{\circ}\small.\)

      Тогда

      \(\displaystyle BH=AH=7\sqrt{3}\small,\)

      \(\displaystyle BC=BH+HC=7\sqrt{3}+7\small.\)


      Найдем площадь треугольника \(\displaystyle ABC\small{:}\)

      \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{BC\cdot AH}{2}=\frac{(7\sqrt{3}+7)\cdot7\sqrt{3}}{2}=\frac{49(3+\sqrt{3})}{2}\small.\)


      Ответ: \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{49(3+\sqrt{3})}{2}\small.\)