Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна \(\displaystyle 1980^{\circ}{\small?}\)
Сумма углов выпуклого \(\displaystyle n\)–угольника вычисляется по формуле:
\(\displaystyle S_n=180^{\circ}\cdot (n-2) {\small.}\)
Выясним, существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна \(\displaystyle 1980^{\circ}{\small.}\)
Другими словами, проверим, найдётся ли такое натуральное значение \(\displaystyle n{\small,}\) при котором выполнено равенство:
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (n-2)=1980^{\circ}{\small.}\)
Решим уравнение:
\(\displaystyle 180\cdot (n-2)=1980{\small;}\)
\(\displaystyle n-2=\frac{1980}{180}{\small;}\)
\(\displaystyle n-2=11{\small;}\)
\(\displaystyle n=13{\small.}\)
\(\displaystyle n=13\) – натуральное число.
Значит, существует выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна \(\displaystyle 1980^{\circ}{\small.}\)
Количество углов в таком многоугольнике равно \(\displaystyle 13{\small.}\)
Ответ: Да.