Как изменится сумма углов выпуклого многоугольника, если число его сторон увеличить на \(\displaystyle 5{\small?}\)
Ответ: Сумма углов многоугольника на \(\displaystyle ^{\circ}\)
Пусть исходный выпуклый многоугольник имеет \(\displaystyle m\) сторон.
Сумма углов выпуклого \(\displaystyle m\)–угольника:
\(\displaystyle S_m=180^{\circ}\cdot (m-2) {\small.}\)
Если количество сторон увеличить на \(\displaystyle 5{\small,}\) то новый многоугольник будет иметь \(\displaystyle m+5\) сторон.
Тогда сумма его углов:
\(\displaystyle S_{m+5}=180^{\circ}\cdot ((m+5)-2)=180^{\circ}\cdot (m+3){\small.} \)
Найдём разницу новой и старой суммы углов:
\(\displaystyle\begin{aligned}S_{m+5}-S_m&=180^{\circ}\cdot (m+3) -180^{\circ}\cdot (m-2)= \\ \\&=180^{\circ}\cdot (m+3-m+2)=180^{\circ}\cdot 5=900^{\circ}{\small.}\end{aligned}\)
При увеличении числа сторон выпуклого многоугольника на \(\displaystyle 5\) сумма его внутренних углов увеличится на \(\displaystyle 900^{\circ}{\small.}\)
Ответ: Сумма углов многоугольника увеличится на \(\displaystyle 900^{\circ}{\small.}\)