Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен \(\displaystyle 108^{\circ}{\small?}\)
Сумма углов выпуклого \(\displaystyle n\)–угольника вычисляется по формуле:
\(\displaystyle S_n=180^{\circ}\cdot (n-2) {\small.}\)
По условию, каждый угол многоугольника равен \(\displaystyle 108^{\circ}{\small.}\)
Значит, сумма всех \(\displaystyle n\) углов данного многоугольника равна
\(\displaystyle 108^{\circ} \cdot n{\small.}\)
Получаем
\(\displaystyle 180^{\circ} \cdot (n-2)=108^{\circ} \cdot n{\small.}\)
Найдём значение \(\displaystyle n{\small:}\)
\(\displaystyle 180 \cdot (n-2)=108 \cdot n{\small;}\)
\(\displaystyle 180n-360=108n{\small;}\)
\(\displaystyle 180n-108n=360{\small;}\)
\(\displaystyle 72n=360\, \, \, \color{blue}{\Big|:72}\)
\(\displaystyle n=5{\small.}\)
Количество углов в выпуклом многоугольнике, каждый угол которого \(\displaystyle 108^{\circ} {\small,}\) равно \(\displaystyle 5{\small.}\)
Следовательно, количество сторон в таком многоугольнике тоже равно \(\displaystyle 5{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)