Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол на \(\displaystyle 20^{\circ}\) больше каждого угла выпуклого шестиугольника с равными углами?
Введём обозначения:
Сумма углов выпуклого \(\displaystyle n\)–угольника вычисляется по формуле:
\(\displaystyle S_n=180^{\circ}\cdot (n-2) {\small.}\)
Выразим сумму углов искомого многоугольника двумя способами:
- сумма углов выпуклого \(\displaystyle m\)–угольника
\(\displaystyle S_m=180^{\circ}\cdot (\color{red}{m}-2) {\small;}\)
- сумма углов выпуклого \(\displaystyle m\)–угольника с равными углами
\(\displaystyle S_m= \color{blue}{\alpha}\cdot \color{red}{m} {\small.}\)
В результате получаем:
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (\color{red}{m}-2)=\color{blue}{\alpha}\cdot \color{red}{m}{\small.}\)
По условию угол \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}\) на \(\displaystyle 20^{\circ}\) больше каждого угла выпуклого шестиугольника с равными углами.
- Сумма углов выпуклого шестиугольника равна
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (6-2)=180^{\circ}\cdot 4=720^{\circ} {\small.}\)
- Все углы в шестиугольнике равны, значит, величина одного угла такого шестиугольника
\(\displaystyle 720^{\circ}:6=120^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \color{blue}{\alpha}=120^{\circ}+20^{\circ}=140^{\circ} {\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}=140^{\circ}\) в формулу:
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (\color{red}{m}-2)=\color{blue}{\alpha}\cdot \color{red}{m}{\small;}\)
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (\color{red}{m}-2)=140^{\circ}\cdot \color{red}{m}{\small.}\)
Решим уравнение:
\(\displaystyle 180 \cdot (m-2)=140 \cdot m{\small;}\)
\(\displaystyle 180m-360=140m{\small;}\)
\(\displaystyle 180m-140 m=360{\small;}\)
\(\displaystyle 40m=360{\small;}\)
\(\displaystyle m=9{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small.}\)