Skip to main content

Теория: Длины отрезков. Периметр-2 (короткая версия)

Задание

В выпуклом четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) известны длины сторон: 

\(\displaystyle AB=10\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle BC=12\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle CD=14\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle AD=16\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Сформулируйте верное утверждение:

\(\displaystyle AC+BD\)    \(\displaystyle 52\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

Решение

Обозначим на рисунке длины сторон четырёхугольника.

Для любых двух смежных сторон и диагонали в выпуклом четырёхугольнике выполняется неравенство треугольника.

Оценим длину диагонали \(\displaystyle AC{\small.}\)

\(\displaystyle AC<AB+BC{\small;}\)

\(\displaystyle AC<10+12{\small;}\)

\(\displaystyle AC<22\, {\footnotesize см}{\small.}\)

\(\displaystyle AC<AD+DC{\small;}\)

\(\displaystyle AC<16+14{\small;}\)

\(\displaystyle AC<30\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Получили 

\(\displaystyle AC<22\, {\footnotesize см}{\small}\) и \(\displaystyle AC<30\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AC<22\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Оценим длину диагонали \(\displaystyle BD{\small.}\)

\(\displaystyle BD<AB+AD{\small;}\)

\(\displaystyle BD<10+16{\small;}\)

\(\displaystyle BD<26\, {\footnotesize см}{\small.}\)

\(\displaystyle BD<BC+CD{\small;}\)

\(\displaystyle BD<12+14{\small;}\)

\(\displaystyle BD<26\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Получили 

\(\displaystyle BD<26\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Оценим сумму длин диагоналей:

\(\displaystyle AC+BD<22+26{\small;}\)

\(\displaystyle AC+BD<48\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 48\, {\footnotesize см}< 52\, {\footnotesize см}{\small,}\) то

\(\displaystyle AC+BD<52\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AC+BD<52\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Замечание / комментарий

Сумма длин диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше периметра этого четырёхугольника.