Теория: Длины отрезков. Периметр-2 (короткая версия)

Пусть \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) выпуклого четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

Диагонали разбили четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) на четыре треугольника:

\(\displaystyle \triangle AOB{\small,}\) \(\displaystyle \triangle BOC{\small,}\) \(\displaystyle \triangle COD{\small,}\) \(\displaystyle \triangle AOD{\small.}\)

Правило

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: \(\displaystyle AB<AC+CB\) \(\displaystyle AC<AB+BC\) \(\displaystyle BC<BA+AC\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BOC\) и \(\displaystyle AOD{\small:}\)

\(\displaystyle BO+CO>BC\)

\(\displaystyle AO+DO>AD\)

Складывая левые и правые части неравенств, получаем:

\(\displaystyle BO+CO+AO+DO>BC+AD{\small.}\)

Заметим, что 

\(\displaystyle AO+CO=AC\)       и       \(\displaystyle BO+DO=BD{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle BO+CO+AO+DO=AC+BD{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AC+BD>BC+AD{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle AC+BD>BC+AD{\small.}\)