Внешние углы выпуклого четырёхугольника находятся в отношении \(\displaystyle 1:2:3:4{\small.}\)
В каком отношении находятся его соответствующие внутренние углы?
\(\displaystyle :\)\(\displaystyle :\)\(\displaystyle :\)
Обозначим на рисунке внешние углы четырёхугольника: \(\displaystyle \varphi_1{\small,}\, \, \varphi_2{\small,}\, \, \varphi_3{\small,}\, \, \varphi_4{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle \varphi_1: \varphi_2: \varphi_3 : \varphi_4=1:2:3:4{\small.}\) Тогда \(\displaystyle \varphi_1=k {\small;}\) \(\displaystyle \varphi_2=2k {\small;}\) \(\displaystyle \varphi_3=3k {\small;}\) \(\displaystyle \varphi_4=4k {\small.}\) |  |
Сумма внешних углов выпуклого \(\displaystyle n\)–угольника равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \varphi_1+ \varphi_2+ \varphi_3+ \varphi_4=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle k+2k+3k+4k=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle 10k=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle k=36^{\circ}{\small.}\)
Значит, внешние углы выпуклого четырёхугольника равны:
\(\displaystyle \varphi_1=k=36^{\circ} {\small;}\)
\(\displaystyle \varphi_2=2k=2 \cdot 36^{\circ}=72^{\circ} {\small;}\)
\(\displaystyle \varphi_3=3k=3 \cdot 36^{\circ}=108^{\circ} {\small;}\)
\(\displaystyle \varphi_4=4k=4 \cdot 36^{\circ}=144^{\circ} {\small.}\)
Найдём соответствующие внутренние углы выпуклого четырёхугольника.
 | Каждый внутренний угол дополняет внешний до \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \alpha_1=180^{\circ}-\varphi_1=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ} {\small;}\) \(\displaystyle \alpha_2=180^{\circ}-\varphi_2=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ} {\small;}\) \(\displaystyle \alpha_3=180^{\circ}-\varphi_3=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ} {\small;}\) \(\displaystyle \alpha_4=180^{\circ}-\varphi_4=180^{\circ}-144^{\circ}=36^{\circ} {\small.}\) |
Определим отношение внутренних углов:
\(\displaystyle \alpha_1: \alpha_2: \alpha_3 : \alpha_4=144^{\circ}:108^{\circ}:72^{\circ}:36^{\circ}{\small.}\)
Упростим отношение, разделив на \(\displaystyle 36^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \alpha_1: \alpha_2: \alpha_3 : \alpha_4=4:3:2:1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 4:3:2:1{\small.}\)