Skip to main content

Теория: Стороны-2 (короткая версия)

Задание

В параллелограмме \(\displaystyle MNPQ\) проведён перпендикуляр \(\displaystyle NH\) к прямой \(\displaystyle MQ{\small,}\) причем точка \(\displaystyle H\) лежит на стороне \(\displaystyle MQ{\small.}\) Найдите стороны параллелограмма, если известно, что \(\displaystyle MH=5 \, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle HQ=8 \, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle \angle MNH=30^{\circ}{\small.}\)

 \(\displaystyle {\footnotesize см}{\small;}\)    \(\displaystyle {\footnotesize см}{\small;}\)    \(\displaystyle {\footnotesize см}{\small;}\)    \(\displaystyle {\footnotesize см}{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle MNPQ\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle NH \perp MQ{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle MNH=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle MH=5\, \footnotesize см {\small;}\)
  • \(\displaystyle HQ=8\, \footnotesize см {\small.}\)

 

Требуется найти стороны параллелограмма \(\displaystyle MNPQ{\small.}\)

Правило

Свойство параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

Найдём стороны \(\displaystyle MQ\) и \(\displaystyle NP{\small.}\)

Точка \(\displaystyle H\) лежит на стороне \(\displaystyle MQ{\small:}\)

  • \(\displaystyle MH=5\, \footnotesize см {\small,}\) 
  • \(\displaystyle HQ=8\, \footnotesize см {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle\begin{aligned}MQ&=MH+HQ=\\&=5+8=13\, \footnotesize см {\small.}\end{aligned}\)

 

\(\displaystyle NP\) и \(\displaystyle MQ\) – противоположные стороны параллелограмма \(\displaystyle MNPQ{\small,}\) значит,

\(\displaystyle NP=MQ=13\, \footnotesize см {\small.}\)

Найдём стороны \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle PQ{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle MNH{\small:}\)

  • \(\displaystyle \angle MHN=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle MNH=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle MH=5\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

В прямоугольном треугольнике напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет равный половине гипотенузы.

То есть

\(\displaystyle MN=2\cdot MH=2 \cdot 5=10\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

\(\displaystyle PQ\) и \(\displaystyle MN\) – противоположные стороны параллелограмма \(\displaystyle MNPQ{\small,}\) значит,

\(\displaystyle PQ=MN=10\, \footnotesize см {\small.}\)

Таким образом, стороны параллелограмма \(\displaystyle MNPQ\) равны:

\(\displaystyle MN=PQ=10\, {\footnotesize см}{\small;}\)

\(\displaystyle MQ=NP=13\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 10\, {\footnotesize см}{\small;}\) \(\displaystyle 13\, {\footnotesize см}{\small;}\) \(\displaystyle 10\, {\footnotesize см}{\small;}\) \(\displaystyle 13\, {\footnotesize см}{\small.}\)