Skip to main content

Теория: 01 Правило умножения (короткая версия)

Задание

Множество \(\displaystyle A\) состоит из четырёх различных элементов, множество \(\displaystyle B\) – из шести, а множество \(\displaystyle C\) – из пяти. Сколько можно составить троек вида \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\)  \(\displaystyle c \in C {\small?}\)

Решение

Правило
 

Правило умножения

Если множество \(\displaystyle A\)  состоит из \(\displaystyle \color{green}{n}\) элементов, а множество \(\displaystyle B\) – из \(\displaystyle \color{red}{k}\) элементов, то множество упорядоченных пар \(\displaystyle (a,b) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) состоит из  \(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k}\) элементов.

Заметим, что с помощью правила умножения можно перечислять не только пары, но и тройки элементов, четвёрки и так далее.

Например, правило умножения для трёх элементов может быть сформулировано следующим образом:

Правило
 

Если множество \(\displaystyle A\)  состоит из \(\displaystyle \color{green}{n}\) элементов, множество \(\displaystyle B\) – из \(\displaystyle \color{red}{k}\) элементов, а множество \(\displaystyle C\) – из \(\displaystyle \color{violet}{m}\) элементов, то множество упорядоченных троек \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) \(\displaystyle c \in C {\small,}\)состоит из \(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k} \cdot \color{violet}{m}\) элементов.


По условию:

  • множество \(\displaystyle A\) состоит из четырёх элементов, значит, \(\displaystyle \color{green}{n}=\color{green}{4}{\small;}\)
  • множество \(\displaystyle B\) состоит из шести элементов, значит, \(\displaystyle \color{red}{k}=\color{red}{6}{\small;}\)
  • множество \(\displaystyle C\) состоит из пяти элементов, значит, \(\displaystyle \color{violet}{m}=\color{violet}{5}{\small;}\)

По правилу умножения получаем, что троек \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) \(\displaystyle c \in C {\small,}\) можно составить

\(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k} \cdot \color{violet}{m}=\color{green}{4} \cdot \color{red}{6} \cdot \color{violet}{5}=120{\small.}\) 

Ответ: \(\displaystyle 120{\small.}\)