Skip to main content

Теория: Углы (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle K\) так, что \(\displaystyle \angle BTC= \angle DKA{\small.}\)


 

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) параллелограммом? 

Почему? 


\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle CK{\small,}\) если \(\displaystyle AB=18{\small,}\) \(\displaystyle BT=11{\small.}\)

\(\displaystyle CK=\) 

Решение
  • \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм;
  • \(\displaystyle T \in AB{\small,}\) \(\displaystyle K \in CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{\angle BTC}=\color{green}{ \angle DKA}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=18{\small;}\)
  • \(\displaystyle BT=11{\small.}\)

 

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Определим, является ли четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) параллелограммом.

Признак параллелограмма

Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны,

то он является параллелограммом.

Проверим, равны ли противоположные углы четырёхугольника \(\displaystyle ATCK?\)

 

Так как \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм по условию, то 

\(\displaystyle AB\parallel CD{\small.}\)

По свойству параллельных прямых:

 

\(\displaystyle \color{green}{\angle KCT}=\color{green}{\angle BTC}\)

как накрест лежащие при секущей \(\displaystyle TC{\small.}\)

\(\displaystyle \color{green}{\angle TAK}=\color{green}{\angle DKA}\)

как накрест лежащие при секущей \(\displaystyle AK{\small.}\)

\(\displaystyle \color{green}{\angle KCT}=\color{green}{ \angle TAK}{\small.}\)

Сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \color{red}{\angle ATC}=180^{\circ}-\color{green}{\angle BTC}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{red}{\angle CKA}=180^{\circ}-\color{green}{\angle DKA}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{\angle ATC}=\color{red}{ \angle CKA}{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle \color{green}{\angle KCT}=\color{green}{ \angle TAK}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{red}{\angle ATC}=\color{red}{ \angle CKA}{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle ATCK\) противоположные углы попарно равны. 

Следовательно,

\(\displaystyle ATCK\) – параллелограмм.


\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдём длину отрезка \(\displaystyle CK{\small.}\)

Так как \(\displaystyle CK\) и \(\displaystyle AT\) – противоположные стороны параллелограмма \(\displaystyle ATCK{\small,}\) то

\(\displaystyle CK=AT{\small.}\)

Точка \(\displaystyle T\) лежит на стороне \(\displaystyle AB{\small,}\) тогда

\(\displaystyle AT=AB-BT{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AB=18{\small,}\) \(\displaystyle BT=11{\small:}\)

\(\displaystyle AT=18-11=7{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle CK=7{\small.}\)

 

Ответ:\(\displaystyle \color{red}{1.}\)

Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ATCK\) параллелограммом?   Да.

Почему?   Противоположные углы попарно равны.

 \(\displaystyle \color{red}{2.}\)\(\displaystyle CK=7{\small.}\)