Skip to main content

Теория: Углы (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle KL\) и \(\displaystyle NM\) параллелограмма \(\displaystyle KLMN\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle Q\) и \(\displaystyle P\) так, что \(\displaystyle \angle NQL= \angle LPN{\small.}\)


 

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Является ли четырёхугольник \(\displaystyle NQLP\) параллелограммом? 

Почему? 


\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle NP{\small,}\) если \(\displaystyle KL=31{\small,}\) \(\displaystyle KQ=14{\small.}\)

\(\displaystyle NP=\) 

Решение
  • \(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм;
  • \(\displaystyle Q \in KL{\small,}\) \(\displaystyle P \in MN{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{\angle NQL}=\color{green}{ \angle LPN}{\small;}\)
  • \(\displaystyle KL=31{\small;}\)
  • \(\displaystyle KQ=14{\small.}\)

 

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Определим, является ли четырёхугольник \(\displaystyle NQLP\) параллелограммом.

Признак параллелограмма

Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны,

то он является параллелограммом.

По условию в четырёхугольнике \(\displaystyle NQLP\) два противоположных угла \(\displaystyle \color{green}{ NQL}\) и \(\displaystyle \color{green}{ LPN}\) равны.

 

Выясним, равны ли два других угла.

Так как \(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм по условию, то 

\(\displaystyle KL \parallel MN{\small.}\)

По свойству параллельных прямых:

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QNP}\) и \(\displaystyle \color{green}{\angle NQL}\) – односторонние углы при секущей \(\displaystyle QN{\small.}\) 

Значит,

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QNP}=180^{\circ} -\color{green}{\angle NQL}{\small.}\)

 

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QLP}\) и \(\displaystyle \color{green}{\angle LPN}\) – односторонние углы при секущей \(\displaystyle LP{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QLP}=180^{\circ}-\color{green}{\angle LPN} {\small.}\)

Следовательно,

 \(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QNP}=\color{darkviolet}{ \angle QLP}{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle \color{green}{\angle NQL}=\color{green}{ \angle LPN}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle QNP}=\color{darkviolet}{ \angle QLP}{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle NQLP\) противоположные углы попарно равны. 

Следовательно,

\(\displaystyle NQLP\) – параллелограмм.


\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдём длину отрезка \(\displaystyle NP{\small.}\)

Так как \(\displaystyle NP\) и \(\displaystyle QL\) – противоположные стороны параллелограмма \(\displaystyle NQLP{\small,}\) то

\(\displaystyle NP=QL{\small.}\)

Точка \(\displaystyle Q\) лежит на стороне \(\displaystyle KL{\small,}\) тогда

\(\displaystyle QL=KL-KQ{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle KL=31{\small,}\) \(\displaystyle KQ=14{\small:}\)

\(\displaystyle QL=31-14=17{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle NP=17{\small.}\)
 

Ответ:\(\displaystyle \color{red}{1.}\)

Является ли четырёхугольник \(\displaystyle NQLP\) параллелограммом?   Да.

Почему?   Противоположные углы попарно равны.

 \(\displaystyle \color{red}{2.}\)\(\displaystyle NP=17{\small.}\)