Skip to main content

Теория: Углы (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle KD\) параллелограмма \(\displaystyle MBKD\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) так, что \(\displaystyle \angle ADM= \angle CBK{\small.}\)


 

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) параллелограммом? 

Почему? 


\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle CD{\small,}\) если \(\displaystyle MB=27{\small,}\) \(\displaystyle AM=11{\small.}\)

\(\displaystyle CD=\) 

Решение
  • \(\displaystyle MBKD\) – параллелограмм;
  • \(\displaystyle A \in MB{\small,}\) \(\displaystyle C \in KD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{brown}{\angle ADM}=\color{brown}{ \angle CBK}{\small;}\)
  • \(\displaystyle MB=27{\small;}\)
  • \(\displaystyle AM=11{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle MBKD\) – параллелограмм по условию, то

\(\displaystyle MB\parallel KD{\small,}\)  \(\displaystyle BK\parallel MD{\small;}\)

\(\displaystyle \angle MBK=\angle MDK{\small,}\)  \(\displaystyle \angle BMD=\angle BKD{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{1.}\) Определим, является ли четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) параллелограммом.

Признак параллелограмма

Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны,

то он является параллелограммом.

Проверим, равны ли противоположные углы четырёхугольника \(\displaystyle ABCD?\)

 

Рассмотрим углы \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle ABC=\color{green}{\angle MBK}-\color{brown}{\angle CBK}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle ADC=\color{green}{\angle MDK}-\color{brown}{\angle ADM}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{magenta}{\angle ABC}=\color{magenta}{\angle ADC}{\small.}\)

 

Рассмотрим углы \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle BCD{\small.}\)

Так как \(\displaystyle MB\parallel KD{\small,}\) то по свойству параллельных прямых:

Углы \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle ADC\) – односторонние при секущей \(\displaystyle AD{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle BAD=180^{\circ}-\color{magenta}{\angle ADC}{\small.}\)

Углы \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ABC\) – односторонние при секущей \(\displaystyle BC{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle BCD=180^{\circ}-\color{magenta}{\angle ABC}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{blue}{\angle BAD}=\color{blue}{\angle BCD}{\small.}\)

 

В результате получаем

\(\displaystyle \color{magenta}{\angle ABC}=\color{magenta}{\angle ADC }{\small,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{\angle BAD}=\color{blue}{\angle BCD}{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) противоположные углы попарно равны. 

Следовательно,

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

 

\(\displaystyle \color{red}{2.}\) Найдём длину отрезка \(\displaystyle CD{\small.}\)

Так как \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle AB\) – противоположные стороны параллелограмма \(\displaystyle ABCD{\small,}\) то

\(\displaystyle CD=AB{\small.}\)

Точка \(\displaystyle A\) лежит на стороне \(\displaystyle MB{\small,}\) тогда

\(\displaystyle AB=MB-AM{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle MB=27{\small,}\) \(\displaystyle AM=11{\small:}\)

\(\displaystyle AB=27-11=16{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle CD=16{\small.}\)

 

Ответ:\(\displaystyle \color{red}{1.}\)

Является ли четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) параллелограммом?   Да.

Почему?   Противоположные углы попарно равны.

 \(\displaystyle \color{red}{2.}\)\(\displaystyle CD=16{\small.}\)