Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

Две медианы треугольника равны \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 9\) и пересекаются под углом \(\displaystyle 120^{\circ}\small.\) Найдите стороны этого треугольника.

  • \(\displaystyle AB=\)
    2\sqrt{19}
  • \(\displaystyle AC=\)
    2\sqrt{13}
  • \(\displaystyle BC=\)
    4\sqrt{7}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Сразу отметим, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(\displaystyle 2:1\small.\)

Тогда:

  • так как \(\displaystyle AM=6\small,\) то \(\displaystyle MO=\frac{1}{3}\cdot AM=2\) и \(\displaystyle AO=\frac{2}{3}\cdot AM=4\small.\)
  • так как \(\displaystyle BN=9\small,\) то \(\displaystyle NO=\frac{1}{3}\cdot BN=3\) и \(\displaystyle BO=\frac{2}{3}\cdot BN=6\small.\)

    Используя теорему косинусов для треугольников \(\displaystyle AOB,\,BOM\) и \(\displaystyle AON\small,\) найдем соответственно стороны \(\displaystyle AB,\,BC\) и \(\displaystyle AC\small.\)

    Применим теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle AOB\small,\) получаем

    \(\displaystyle AB=2\sqrt{19}\small.\)

    Запишем теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle AOB\) и стороны \(\displaystyle AB{\small:}\)

    \(\displaystyle AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos120^{\circ}\small.\)

    Подставим известные значения. Поскольку \(\displaystyle \cos120^{\circ}=-\cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}\small,\) получаем:

    \(\displaystyle AB^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=76\small,\)

    \(\displaystyle AB=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\small.\)

    Применим теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle BOM\small,\) получаем

    \(\displaystyle BC=4\sqrt{7}\small.\)

    Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BOM\small.\)

    Углы \(\displaystyle MOB\) и \(\displaystyle BOA\) вместе образуют развернутый угол. Тогда

    \(\displaystyle \angle MOB=180^{\circ}-\angle BOA=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\small.\)


    Запишем теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle BOM\) и стороны \(\displaystyle BM{\small:}\)

    \(\displaystyle BM^2=MO^2+BO^2-2\cdot MO\cdot BO\cdot\cos60^{\circ}\small.\)

    Подставим известные значения:

    \(\displaystyle BM^2=2^2+6^2-2\cdot2\cdot6\cdot\frac{1}{2}=28\small,\)

    \(\displaystyle BM=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\small.\)

    Точка \(\displaystyle M\) делит сторону \(\displaystyle BC\) пополам, значит,

    \(\displaystyle BC=2BM=2\cdot2\sqrt{7}=4\sqrt{7}\small.\)

    Применим теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle AON\small,\) получаем

    \(\displaystyle AC=2\sqrt{13}\small.\)