Внутри круга радиуса \(\displaystyle 6\) разместили круг радиуса \(\displaystyle 4\small.\)
В большем круге случайным образом выбирают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в меньшем круге?
Геометрическое определение вероятности на плоскости
На плоскости изображена фигура \(\displaystyle F\small,\) внутри которой содержится фигура \(\displaystyle G\small.\)
Пусть из фигуры \(\displaystyle F\small\) производится случайный выбор точки.
Тогда вероятность \(\displaystyle P\) того, что выбранная точка принадлежит фигуре \(\displaystyle G{\small ,}\) равна отношению площадей \(\displaystyle G{\small }\) и \(\displaystyle F{\small:}\)
\(\displaystyle P=\frac{\,\,\color{#cc0066}{S_G}}{\,\,\color{blue}{S_F}}\small .\)
Здесь \(\displaystyle S_G\)– площадь фигуры \(\displaystyle G{\small ,}\) \(\displaystyle S_F\)– площадь фигуры \(\displaystyle F{\small .}\)
Вероятность того, что случайно выбранная из большого круга точка принадлежит маленькому кругу, равна отношению площади маленького круга к площади большого:
\(\displaystyle P=\frac{\color{#cc0066}{S_{\text{\small}{маленького\,\,круга}}}}{{\color{blue}{S_{\text{\small}{большого\,\,круга}}}}}\small.\)
Площадь круга радиуса \(\displaystyle r\) вычисляется по формуле
\(\displaystyle S_{\text{\small}{круга}}=\pi r^2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{S_{\text{\small}{большого\,\,круга}}=\pi\cdot6^2=36\pi}{\small ,}\)
\(\displaystyle \color{#cc0066}{S_{\text{\small}{маленького\,\,круга}}=\pi\cdot4^2=16\pi}{\small .}\)
Получаем, что искомая вероятность равна
\(\displaystyle P=\frac{\,\,\color{#cc0066}{16}}{\,\,\color{blue}{36}}=\frac{4}{9}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4}{9}{\small .}\)