На клетчатой бумаге изобразили синий прямоугольник и красную фигуру:
Из синего прямоугольника случайным образом выбирают точку. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит красной фигуре?
Геометрическое определение вероятности на плоскости
На плоскости изображена фигура \(\displaystyle F\small,\) внутри которой содержится фигура \(\displaystyle G\small.\)
Пусть из фигуры \(\displaystyle F\small\) производится случайный выбор точки.
Тогда вероятность \(\displaystyle P\) того, что выбранная точка принадлежит фигуре \(\displaystyle G{\small ,}\) равна отношению площадей \(\displaystyle G{\small }\) и \(\displaystyle F{\small:}\)
\(\displaystyle P=\frac{\,\,\color{#cc0066}{S_G}}{\,\,\color{blue}{S_F}}\small .\)
Здесь \(\displaystyle S_G\)– площадь фигуры \(\displaystyle G{\small ,}\) \(\displaystyle S_F\)– площадь фигуры \(\displaystyle F{\small .}\)
Вероятность того, что случайно выбранная из синего прямоугольника точка принадлежит красной фигуре, равна отношению площади фигуры к площади прямоугольника:
\(\displaystyle P=\frac{\color{#cc0066}{S_{\text{\small}{фигуры}}}}{{\color{blue}{S_{\text{\small}{прямоугольника}}}}}\small.\)
Площади синего прямоугольника и красной фигуры подсчитаем в клеточках.
Клетчатый прямоугольник имеет размеры \(\displaystyle 6×5{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{S_{\text{\small}{прямоугольника}}=6 \cdot 5=30}{\small .}\)
Клетчатая красная фигура состоит из \(\displaystyle 8\) клеток. То есть
\(\displaystyle {\color{#cc0066}{S_{\text{\small}{фигуры}}=8}}{\small .}\)
Подставляя полученные значения в формулу для вычисления вероятности, получаем:
\(\displaystyle P=\dfrac{\color{#cc0066}{8}}{\color{blue}{30}}=\frac{4}{15}{\small .}\)
То есть, вероятность того, что случайно выбранная из синего прямоугольника точка принадлежит красной фигуре, равна \(\displaystyle \frac{4}{15}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{4}{15}{\small .}\)