Точки \(\displaystyle A{\small,}\,\,B\) и \(\displaystyle C{\small}\) делят окружность на три дуги, длины которых относятся как \(\displaystyle \color{0099cc}{1}:\color{ff3366}{4}:\color{009900}{6}{\small.}\)
На окружности случайным образом выбирают точку \(\displaystyle X{\small.}\)
Найдите вероятность того, что \(\displaystyle X\) принадлежит дуге \(\displaystyle \color{ff3366}{BC}{\small.}\)
Найдём вероятность того, что случайная точка \(\displaystyle X{\small}\) окружности принадлежит меньшей дуге \(\displaystyle BC{\small.}\)
Эта вероятность равна отношению длины дуги \(\displaystyle BC{\small}\) к длине окружности:
\(\displaystyle P(X\in \overset{ \,\,\,\smile }{BC} )=\frac{\color{ff0033}{\small{{длина\,\,дуги}\,\, {BC}\,\, }}}{\small{{длина\,\,окружности}}}{\small.}\)
По условию, окружность делится на три дуги, длины которых относятся как \(\displaystyle \color{0099cc}{1}:\color{ff3366}{4}:\color{009900}{6}{\small.}\)
Значит, вся окружность делится на \(\displaystyle \color{0099cc}{1}+\color{ff3366}{4}+\color{009900}{6}=11{\small}\) частей.
Пусть длина одной части равна \(\displaystyle x{\small.}\)
Тогда длина дуги \(\displaystyle {BC}\) равна \(\displaystyle \color{ff0033}{4x}{\small,}\) а длина всей окружности равна \(\displaystyle 11x{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle P(X\in \overset{ \,\,\,\smile }{BC} )=\frac{\color{ff0033}{4x}}{{11x}}=\frac{4}{11}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4}{11}{\small.}\)