Skip to main content

Теория: 11 Преобразование подобия (короткая версия)

Задание

В параллелограмме \(\displaystyle ABCD\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 72^{\circ}{\small,}\) а стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD\) равны \(\displaystyle 25\) и \(\displaystyle 40\) соответственно. В параллелограмме \(\displaystyle KLMN\) угол \(\displaystyle L\) равен \(\displaystyle 108^{\circ}{\small,}\) а стороны \(\displaystyle KL\) и \(\displaystyle KN\) равны \(\displaystyle 24\) и \(\displaystyle 15\) соответственно.

Верно ли, что эти параллелограммы подобны? 

Решение

Выполним построение по условию задачи и рассмотрим параллелограммы \(\displaystyle ABCD\) и \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

В параллелограмме \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

  • \(\displaystyle AB=25{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=40{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle C=72^{\circ}{\small.}\)

В параллелограмме \(\displaystyle KLMN{\small:}\)

  • \(\displaystyle KL=24{\small;}\)
  • \(\displaystyle KN=15{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle L=108^{\circ}{\small.}\)

Требуется выяснить, подобны ли данные параллелограммы. Для этого нужно:

  • сначала определить, какие углы являются соответственными – они должны быть равны;
  • затем по сторонам соответственных и равных углов определить, какие стороны соответственны – они должны быть пропорциональны.

По свойствам в параллелограмме противоположные стороны попарно равны и противоположные углы попарно равны. Обозначим равные измерения на рисунке.

В параллелограмме \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

  • \(\displaystyle CD=AB=25{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=AD=40{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle A=\angle C=72^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle B=\angle D=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}{\small.}\)

В параллелограмме \(\displaystyle KLMN{\small:}\)

  • \(\displaystyle MN=KL=24{\small;}\)
  • \(\displaystyle LM=KN=15{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle N=\angle L=108^{\circ}{\small.}\)
  • \(\displaystyle \angle K=\angle M=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}{\small.}\)

 

Заметим, что:

\(\displaystyle 1)\) острые углы данных параллелограммов соответственно равны и тупые углы соответственно равны;

\(\displaystyle 2)\) отношение больших сторон параллелограммов \(\displaystyle ABCD\) и \(\displaystyle KLMN\) равно отношению меньших сторон этих параллелограммов.

Получили:

  • большие и меньшие углы данных параллелограммов являются соответственными и они равны;
  • большие и меньшие стороны при этих углах являются соответственными и они пропорциональны.

Значит, параллелограммы \(\displaystyle ABCD\) и \(\displaystyle KLMN\) подобны.

Ответ: Да.