Skip to main content

Теория: 16 Вычисление площадей сложных фигур (короткая версия)

Задание

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке, у которой четыре угла прямые.

Решение

Обозначим вершины фигуры буквами и укажем на рисунке прямые углы данного многоугольника.

\(\displaystyle ABCDEFG\) – многоугольник:

  • \(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle F=\angle G=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=2{\small;}\)
  • \(\displaystyle EF=3{\small;}\)
  • \(\displaystyle FG=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle AG=8{\small;}\)
  • расстояние от точки \(\displaystyle D\) до стороны \(\displaystyle AG\) равно \(\displaystyle 2{\small.}\)

Требуется найти площадь данной фигуры.

Заметим, что \(\displaystyle ABFG\) – прямоугольник.

По свойству площади площадь \(\displaystyle S\) фигуры \(\displaystyle ABCDEFG\) найдём как разность площадей прямоугольника \(\displaystyle ABFG\) и треугольника \(\displaystyle CDE{\small:}\)

\(\displaystyle S=S_{ABFG}-S_{CDE}{\small.}\)

\(\displaystyle S_{ABFG}=56{\small.}\)

\(\displaystyle S_{CDE}=7{,}5{\small.}\)

В треугольнике \(\displaystyle CDE\) из вершины \(\displaystyle D\) проведём высоту \(\displaystyle DH\) к основанию \(\displaystyle CE{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle S_{CDE}=\frac{1}{2} \cdot CE \cdot DH{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle BF=AG=8\) – противоположные стороны прямоугольника \(\displaystyle ABFG{\small;} \)
  • \(\displaystyle CE=BF-BC-EF=8-2-3=3{\small;}\)
  • расстояние между сторонами \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BF\) равно \(\displaystyle 7{\small,}\) расстояние от точки \(\displaystyle D\) до стороны \(\displaystyle AG\) равно \(\displaystyle 2{\small,}\) следовательно, расстояние от точки \(\displaystyle D\) до стороны \(\displaystyle BF\) равно

\(\displaystyle DH=7-2=5{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle S_{CDE}=\frac{1}{2} \cdot CE \cdot DH=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5=7{,}5{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle S=S_{ABFG}-S_{CDE}=56-7{,}5=48{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 48{,}5{\small.}\)