Skip to main content

Теория: 16 Вычисление площадей сложных фигур (короткая версия)

Задание

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке, у которой три угла прямые.

Решение

Обозначим вершины фигуры буквами и укажем на рисунке прямые углы данного многоугольника.

\(\displaystyle ABCDEF\) – многоугольник:

  • \(\displaystyle \angle A=\angle E=\angle F=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=6{\small;}\)
  • \(\displaystyle DE=3{\small;}\)
  • \(\displaystyle EF=6{\small;}\)
  • \(\displaystyle AF=8{\small;}\)
  • расстояние от точки \(\displaystyle C\) до стороны \(\displaystyle AF\) равно \(\displaystyle 10{\small.}\)

Требуется найти площадь данной фигуры.

 

Заметим, что \(\displaystyle ABEF\) – прямоугольник.

По свойству площади площадь \(\displaystyle S\) фигуры \(\displaystyle ABCDEF\) найдём как сумму площадей прямоугольника \(\displaystyle ABEF\) и треугольника \(\displaystyle BCD{\small:}\)

\(\displaystyle S=S_{ABEF}+S_{BCD}{\small.}\)

\(\displaystyle S_{ABEF}=48{\small.}\)

\(\displaystyle S_{BCD}=10{\small.}\)

В треугольнике \(\displaystyle BCD\) из вершины \(\displaystyle C\) проведём высоту \(\displaystyle CH\) к основанию \(\displaystyle BD{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle S_{BCD}=\frac{1}{2} \cdot BD\cdot CH{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle BE=AF=8\) – противоположные стороны прямоугольника \(\displaystyle ABEF{\small;} \)
  • \(\displaystyle BD=BE-DE=8-3=5{\small;}\)
  • расстояние между сторонами \(\displaystyle AF\) и \(\displaystyle BE\) равно \(\displaystyle 6{\small,}\) расстояние от точки \(\displaystyle C\) до стороны \(\displaystyle AF\) равно \(\displaystyle 10{\small,}\) следовательно, расстояние от точки \(\displaystyle C\) до стороны \(\displaystyle BE\) равно

\(\displaystyle CH=10-6=4{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle S_{BCD}=\frac{1}{2} \cdot BD\cdot CH=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4=10{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle S=S_{ABEF}+S_{BCD}=48+10=58{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 58{\small.}\)