Для острого угла \(\displaystyle \alpha\) найдите \(\displaystyle \cos \alpha\) и \(\displaystyle \sin \alpha{\small,}\) если \(\displaystyle \tg \alpha=0{,}75{\small.}\)
Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла:
\(\displaystyle \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}{\small.}\)
По условию \(\displaystyle \tg \alpha =0{,}75{\small,}\) значит,
\(\displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=0{,}75{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \sin \alpha=0{,}75\cos \alpha{\small.}\)
Для синуса и косинуса одного угла справедливо равенство:
Основное тригонометрическое тождество
\(\displaystyle \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha = 1\)
Подставим \(\displaystyle \sin \alpha=0{,}75\cos \alpha{\small:}\)
\(\displaystyle (0{,}75\cos \alpha)^2 +\cos^2 \alpha= 1{\small.}\)
Заменим десятичную дробь обыкновенной дробью и найдём \(\displaystyle \cos \alpha{\small:}\)
\(\displaystyle \left(\frac{3}{4}\cdot \cos \alpha\right)^2 +\cos^2 \alpha= 1{\small;}\\ \)
\(\displaystyle \frac{9}{16}\cdot \cos^2 \alpha +\cos^2 \alpha= 1{\small;}\\ \)
\(\displaystyle \frac{25}{16}\cdot \cos^2 \alpha= 1{\small;}\\ \)
\(\displaystyle \cos^2 \alpha= \frac{16}{25}{\small.}\)
Так как косинус острого угла положителен, то
\(\displaystyle \cos \alpha =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}=0{,}8{\small.}\)
Найдём \(\displaystyle \sin \alpha{\small:}\)
\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{4}\cdot \cos \alpha=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}=0{,}6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos \alpha =0{,}8{\small;}\) \(\displaystyle \sin \alpha=0{,}6{\small.}\)