Центральный угол \(\displaystyle AOB\) на \(\displaystyle 32^{\circ}\) больше вписанного угла \(\displaystyle AMB{\small,}\) опирающегося на дугу \(\displaystyle AB{\small.}\) Найдите каждый из этих углов.
\(\displaystyle \angle AOB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle AMB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
 | По условию угол \(\displaystyle AOB\) на \(\displaystyle 32^{\circ}\) больше угла \(\displaystyle AMB{\small.}\) Пусть \(\displaystyle \angle AMB=\color{red}{\alpha}{\small,}\) тогда \(\displaystyle \angle AOB=\color{green}{\alpha+32^{\circ}}{\small.}\) |
Центральный угол \(\displaystyle AOB\) и вписанный угол \(\displaystyle AMB\) опираются на одну дугу \(\displaystyle AB{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AOB={\small \smile} AB{\small;}\)
\(\displaystyle \angle AMB=\frac{1}{2} {\small \smile} AB{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle AMB= \frac{1}{2}\cdot \angle AOB{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \color{red}{\alpha}= \frac{1}{2}\cdot (\color{green}{\alpha+32^{\circ}}){\small.}\)
Из полученного равенства найдем значение \(\displaystyle \alpha{\small:}\)
\(\displaystyle 2 \cdot \alpha=\alpha+32^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \alpha=32^{\circ}{\small.}\)
В результате получаем:
\(\displaystyle \angle AMB=32^{\circ}{\small,}\)
\(\displaystyle \angle AOB=2 \cdot 32^{\circ}=64^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle AOB=64^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle AMB=32^{\circ}{\small.}\)