Теория: 02 Центральный и вписанный углы - 1

\(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) – хорды окружности с центром в точке \(\displaystyle O{\small;}\) \(\displaystyle \angle ABO=37^{\circ}{\small;}\) Требуется найти угол \(\displaystyle ACB{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ACB\) – вписанный угол, опирающийся на дугу \(\displaystyle AB{\small,}\) следовательно,

теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AB{\small.}\)

Выполним дополнительное построение: проведём радиус \(\displaystyle OA{\small.}\)

Радиусы одной окружности равны. Так как \(\displaystyle OA=OB{\small,}\) то \(\displaystyle \triangle AOB\) – равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\displaystyle \angle BAO=\angle ABO=37^{\circ}{\small.}\) Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small,}\) то есть \(\displaystyle \angle AOB+\angle BAO+\angle ABO=180^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-(\angle BAO+\angle ABO){\small;}\)

\(\displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-(37^{\circ}+37^{\circ})=180^{\circ}-74^{\circ}=106^{\circ}{\small.}\)

Угол \(\displaystyle AOB\) центральный и опирается на дугу \(\displaystyle AB{\small,}\) следовательно, \(\displaystyle {\small \smile} AB=\angle AOB{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile} AB=106^{\circ}{\small.}\)

Найдём угол \(\displaystyle ACB{\small:}\)

\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2}{\small \smile} AB=\frac{1}{2} \cdot 106^{\circ}=53^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle ACB=53^{\circ}{\small.}\)