Skip to main content

Теория: 06 Угол между секущими, проведёнными из одной точки

Задание

Окружность разделена точками \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle D\) на дуги. Известно отношение градусных мер этих дуг: \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}CD:{\small \smile}AD=2:5:7:6{\small.}\) Хорды \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) продолжены до пересечения в точке \(\displaystyle M{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle DMC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle DMC=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

Отобразим на рисунке данные задачи:

  • \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) – хорды окружности;
  • \(\displaystyle M\) – точка пересечения продолжения хорд \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}CD:{\small \smile}AD=2:5:7:6{\small,}\) то есть

\(\displaystyle {\small \smile}AB=2t{\small,}\)   \(\displaystyle {\small \smile}BC=5t{\small,}\)   \(\displaystyle {\small \smile}CD=7t{\small,}\)    \(\displaystyle {\small \smile}AD=6t{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle DMC{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle DMC\) – это угол между секущими \(\displaystyle MC\) и \(\displaystyle MD{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle DMC=\frac{{\small \smile}CD-{\small \smile}AB}{2}{\small.}\)

Определим градусные меры дуг \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)

Заметим, что

\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=360^{\circ}{\small.}\)

Подставим:

\(\displaystyle {\small \smile}AB=\color{red}{2t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=\color{darkviolet}{5t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD=\color{orange}{7t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AD=\color{green}{6t}{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=\color{red}{2t}+\color{darkviolet}{5t}+\color{orange}{7t}+\color{green}{6t}=20t{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle 20t=360^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle t=18^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle {\small \smile}AB=36^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle {\small \smile}CD=126^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle DMC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle DMC=\frac{126^{\circ}-36^{\circ}}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle DMC=45^{\circ}{\small.}\)