Между какими целыми числами находится среднее геометрическое чисел \(\displaystyle 1{\small,}\) \(\displaystyle 3{\small,}\) \(\displaystyle 5{\small,}\) \(\displaystyle 6{\small,}\) \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 8{\small?}\)
Между и
Среднее геометрическое
Средним геометрическим \(\displaystyle n\) положительных чисел называется такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^n\) равно произведению данных чисел.
Речь идет о среднем геометрическом шести чисел, значит \(\displaystyle n=6\small.\)
Произведением данных чисел \(\displaystyle 1{\small,}\) \(\displaystyle 3{\small,}\) \(\displaystyle 5{\small,}\) \(\displaystyle 6{\small,}\) \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 8{\small}\) является число
\(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8=5040\small.\)
Теперь требуется найти, между какими целыми числами находится такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^6\) равно \(\displaystyle 5040\small.\)
Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в шестую степень натуральные числа
\(\displaystyle 1{\small ;}\ \ 2{\small ;}\ \ 3{\small ;}\ \ldots{\small }\)
пока не получим первое число, большее \(\displaystyle 5040{\small. }\)
Наименьшее значение данного набора – число \(\displaystyle 1{\small,}\) значит можно начинать возведение в шестую степень именно с числа \(\displaystyle 1{\small.}\)
Все вычисления на данном этапе проводим аккуратно в столбик или с помощью калькулятора.
\(\displaystyle 1^{6}=1 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)
\(\displaystyle 2^{6}=64 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)
\(\displaystyle 3^{6}=729 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)
\(\displaystyle 4^{6}=4096 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)
\(\displaystyle 5^{6}=15625 \color{red}{>} 5040{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle 4^6 < 5040 < 5^6{\small ,}\)
\(\displaystyle 4^6 < a^6 < 5^6{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 4<a<5{\small.}\)
Ответ: между \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 5{\small.}\)